Primitiva di una forma differenziale esatta

[ladidely]

Salve a tutti, vorrei chiedere il vostro aiuto per capire come affrontare la ricerca della primitiva di una forma differenziale esatta.
Nello specifico, mi viene data la forma differenziale $\int_{\Gamma}^{} (4x^3-2xy)/(x^4+y^2)dx+(x^2+2y)/(x^4+y^2)$ con $\Gamma \{(x(t)=1+sqrt(t)),(y(t)=sqrt(t)):}$ chiedendomi di verificare se da questa parametrizzazione si evince la regolarità della curva e in caso di risposta negativa di trovare una parametrizzazione equivalente e calcolare l'integrale.
Il fatto che $\Gamma$ non sia regolare mi è chiaro, so trovare una nuova parametrizzazione e, essendo la forma differenziale esatta, so che mi basta trovare la primitiva e calcolarne il valore tra gli estremi di integrazione; quello che non mi è chiaro è questo: è corretto calcolare l'integrale di $(4x^3-2xy)/(x^4+y^2)dx$ lasciando x,y come variabili e sostituendole con $x(u), y(u)$ direttamente nella primitiva oppure no?

[Noisemaker]

la forma differenziale assegnata è definita in $\Omega:=\RR^2\setminus\{(0,0)\},$ insieme che non è semplicemente connesso; essendo inoltre uguali le derivate:
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^2+2y}{x^4+y^2}\right)&=\frac{2x(x^4+y^2)-4x^3(x^2+2y)}{(x^4+y^2)^2}\\
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{4x^3-2xy}{x^4+y^2}\right)&=\frac{(-2x)(x^4+y^2)-2y(4x^3-2xy) }{(x^4+y^2)^2}
\end{align}
la forma differenziale risulta chiusa, ma non esatta in tutto l'insieme $\Omega;$ parametrizzando la curva $\gamma$ con
\[\gamma(t):=\begin{cases}x(t)=t\\y(t)=t-1\end{cases}, t\in[?;?],\] se considerando un insieme $\Omega_1\subset\Omega$ che non contiene l'origine, ma evidentemente contiene la curva $\gamma,$ in modo che risulti semplicemente connesso, la forma differenziale assegnata è chiusa e quindi esatta in $\Omega_1,$ pertanto esiste una funzione potenziale $U(x,y)$ tale che
\begin{align}
\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)&=\left(\frac{4x^3-2xy}{x^4+y^2}\right)\tag A\\
\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)&=\left(\frac{x^2+2y}{x^4+y^2}\right);\tag B
\end{align}
per determinarla, integrando rispetto da $x$ la prima uguaglianza otteniamo:
\begin{align}
U(x,y)&=\int\left(\frac{4x^3-2xy}{x^4+y^2}\right)\,\,dx=\int\left(\frac{4x^3 }{x^4+y^2}\right)\,\,dx-\int\left(\frac{ 2xy}{x^4+y^2}\right)\,\,dx\\
&=\int \frac{d\left(x^4+y^2\right) }{x^4+y^2} - y\int \frac{d\left(x^2\right)}{x^4+y^2} =\ln\left(x^4+y^2\right)-\int \frac{d\left(\frac{x^2}{y}\right)}{1+\left(\frac{x^2}{y}\right)^2}\\
&=\ln\left(x^4+y^2\right)-\arctan\left(\frac{x^2}{y}\right)+C(y);
\end{align}
derivando ora rispetto ad $y$ l'espressione della $U(x,y)$ trovata, otteniamo:
\begin{align}
\frac{\partial }{\partial y}\left(\ln\left(x^4+y^2\right)-\arctan\left(\frac{x^2}{y}\right)+C(y)\right)&=\frac{2y}{x^4+y^2}+\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x^2}{y}\right)^2}+C'(y)\\
&=\frac{2y+x^2}{x^4+y^2}+C'(y);
\end{align}
per l'esattezza della forma differeziale quest'ultima espressione deve essere uguale alla $B,$ ossia
\begin{align}
\frac{2y+x^2}{x^4+y^2}+C'(y)=\left(\frac{x^2+2y}{x^4+y^2}\right)\quad\Leftrightarrow\quad C'(y)=0\quad\Leftrightarrow\quad C(y)=0,
\end{align}
pertanto:
\begin{align}
\ln\left(x^4+y^2\right)-\arctan\left(\frac{x^2}{y}\right)+c.
\end{align}

[ladidely]

grazie Noisemaker, sei stato molto chiaro.
Adesso non resta che scrivere la primitiva come $f(x(t),y(t))$ e calcolare il valore tra $t=1$ e $t=1+\pi$, giusto?