Primitiva di una forma differenziale

[astrolabio95]

Salve a tutti,

devo trovare la famiglia di primitive della seguente forma differenziale

$ \omega=(x-y)/x^2dx+(1/x+1/(y(y-2)))dy $

Innanzitutto ho determinato il dominio

$ D={(x,y)inmathbb(R^2):x,y≠0;y≠2} $ che in quanto bucato non è semplicemente connesso.

Tuttavia l'insieme potrebbe essere localmente semplicemente connesso e quindi potrebbe esistere una primitiva, essendo la forma chiusa.

Ho proceduto così
$ int(x-y)/x^2dx=log|x|+y/x+c(y) $ \( (\clubsuit ) \)

Derivando \( (\clubsuit ) \) rispetto ad y ed eguagliandolo ad \( f_2 \) ottengo

$ c'(y)= 1/(y(y-2)) $ e dunque $ c(y)=1/2(log|y-2|-log|y|)+k, AA kinmathbb(R) $

Dunque la famiglia di primitive dovrebbe essere
$ F(x,y)=logx+y/x+1/2(log(y-2)-log(y))+k, AA kinmathbb(R) $ questo ovviamente se $ {x>0,y>2} $ che è un semipiano semplicemente connesso...giusto?

[Berationalgetreal]

Mi sembra che sia tutto corretto