Primitiva di forma differenziale.... vi metto alla prova!

[ulisse201]

Ciao a tutti, preparandomi per analisi 2 mi sono imbattuto in un esercizio bello tosto! Sarei grato alla persona che riuscisse a risolvero e spiegarmelo.

Dire se e dove è esatta ed eventualmente calcolarne una primitiva.

$w(x,y) = [2x/(x^2 + y^2) - 1/(x^2 + y^2 +2xy)]dx + [2y/(x^2 + y^2) - 1/(x^2 + y^2 +2xy)]dy$

[ulisse201]

"regim":Non ti hanno dato la regola per determinare quando, in questi casi, puoi ritenere almeno chiusa una forma differenziale lineare?
Se scambi la $x$ con la $y$ passi da una forma all'altra. Poi guarda dove è definita, e considera le caratteristiche di quell'insieme.

Puoi essere un pò più chiaro? Che significa scambiare la x con la y??
Comunque applicando i criteri di cui mi parlavi, si trova che la forma differenziaale è chiusa, e studiando l'inieme di definizione, si trova dove è esatta.
Ma RESTA un problema: come calcolo la primitiva?? con i metodi che conosco io mi sembra difficile, se qualcuno vuole cimentarsi, mi fa un grande piacere!

[regim]

Significa che che quando fai il differenziale delle due 1-forme la seconda la puoi ottenere dalla prima con uno scambio di variabili, e questo comporta solo di moltiplicare la prima per $-1$, e ciò annullerebbe la 2_forma, e quindi la 1_forma di partenza sarebbe chiusa, ed esatta in ogni insieme aperto convesso.


[edit] io non so come hai affrontato questo argomento, applica semplicemente la regola derivata da quanto sopra ti ho detto, che consiste nel verificare che la derivata parziale rispetto a $y$ della prima coincide con quella rispetto a $x$ della seconda.

[Sidereus1]

"ulisse20":
Ma RESTA un problema: come calcolo la primitiva?? con i metodi che conosco io mi sembra difficile, se qualcuno vuole cimentarsi, mi fa un grande piacere!

Mi pare che l'integrazione sia immediata:

$\phi(x,y)=log(x^2+y^2)+1/(x+y)+k$, dove $k$ è una costante arbitraria.

E' tutto regolare, purché si escludano i punti della retta $x+y=0$

[ulisse201]

Ok, grazie!