Primitiva
Ho il seguente problema:
Data la funzione
$f(x) = {(log(1+x)/(x^\alpha),if x>0),(e^(2x)+\alpha*cosx,if x<=0):}$
per quali valori di $\alpha in RR$ ammette primitiva?
La mia soluzione:
se $\alpha > 1$ $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e $lim_(x->0^+)f(x) = +oo$ $rArr$ discontinuità di seconda specie è una funzione derivata $rArr$ ammette primitiva.
per $\alpha <= 1$ poiché $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e$lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^+) f(x)=x^(1-\alpha)={(1,if \alpha=1),(0,if x<1):}$ $rArr$ discontinuità di prima specie (salto) $rArr$ non ammette primitiva.
per $\alpha = -1$ non c'è salto $rArr$ ammette primitiva.
La domanda è: corretto o sbaglio qualcosa?
Data la funzione
$f(x) = {(log(1+x)/(x^\alpha),if x>0),(e^(2x)+\alpha*cosx,if x<=0):}$
per quali valori di $\alpha in RR$ ammette primitiva?
La mia soluzione:
se $\alpha > 1$ $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e $lim_(x->0^+)f(x) = +oo$ $rArr$ discontinuità di seconda specie è una funzione derivata $rArr$ ammette primitiva.
per $\alpha <= 1$ poiché $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e$lim_(x->0^+)f(x)=lim_(x->0^+) f(x)=x^(1-\alpha)={(1,if \alpha=1),(0,if x<1):}$ $rArr$ discontinuità di prima specie (salto) $rArr$ non ammette primitiva.
per $\alpha = -1$ non c'è salto $rArr$ ammette primitiva.
La domanda è: corretto o sbaglio qualcosa?
Risposte
Penso che in questo caso "ammettere primitiva" intenda che esiste finito l'integrale su tutto $\RR$ della tua funzione $f(x)$
In particolare, bisogna concentrarsi su $\int_0^\infty (\log(1+x))/(x^\alpha) dx $ e studiarne i problemi sia a $0$ che a $+\infty$.
Per il problema in $x = 0$ puoi cavartela tranquillamente con Taylor, mentre per il problema all'infinito puoi proprio calcolare l'integrale o fare qualche confronto
In particolare, bisogna concentrarsi su $\int_0^\infty (\log(1+x))/(x^\alpha) dx $ e studiarne i problemi sia a $0$ che a $+\infty$.
Per il problema in $x = 0$ puoi cavartela tranquillamente con Taylor, mentre per il problema all'infinito puoi proprio calcolare l'integrale o fare qualche confronto
@ cidrolin
Basta imporre che la funzione sia continua anche in zero:
Basta imporre che la funzione sia continua anche in zero:
$\alpha=-1$
"Noodles":
@ cidrolin
Basta imporre che la funzione sia continua anche in zero:
$\alpha=-1$
Ok, ma le funzioni continue non sono le uniche ad ammettere primitiva: sono una classe, ma non sono tutte e sole.
"cidrolin":
... per quali valori di $\alpha in RR$ ammette primitiva?
Per primitiva ho inteso una funzione derivabile ovunque. A questo punto, considerando le funzioni della consegna, la derivata deve necessariamente essere continua.
Buonasera e grazie per le risposte,
con "ammettere primitiva" intendo che esiste una funzione F(x) tale che f(x)=F'(x).
il mio dubbio sta in:
se $\alpha > 1$ $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e $lim_(x->0^+)f(x) = +oo$ $rArr$ discontinuità di seconda specie $rArr$ ammette primitiva.
con "ammettere primitiva" intendo che esiste una funzione F(x) tale che f(x)=F'(x).
il mio dubbio sta in:
se $\alpha > 1$ $lim_(x->0^-)f(x)=1+\alpha$ e $lim_(x->0^+)f(x) = +oo$ $rArr$ discontinuità di seconda specie $rArr$ ammette primitiva.
"cidrolin":
... con "ammettere primitiva" intendo ...
Appunto. Il fatto è che la derivata $f(x)$ di $F(x)$ non può presentare quel tipo di discontinuità di seconda specie in zero.
Scusate forse non ho capito alcune cose, ed è per questo che chiedo aiuto, ma un corollario al teorema di Lagrange dice che
Sia $f(x):[x_0-\delta,x_0+\delta] \to RR$ continua in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ e derivabile in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Se $x_0$ è un punto di discontiuità per $f'(x)$,allora è necessariamente di seconda specie.
La conseguenza di questo non dovrebbe essere che le funzioni con discontinuità in $x_0$ diversa da quella di seconda specie non ammettono primitiva?
Sia $f(x):[x_0-\delta,x_0+\delta] \to RR$ continua in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$ e derivabile in $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Se $x_0$ è un punto di discontiuità per $f'(x)$,allora è necessariamente di seconda specie.
La conseguenza di questo non dovrebbe essere che le funzioni con discontinuità in $x_0$ diversa da quella di seconda specie non ammettono primitiva?
Per tagliare la testa al toro considera:
Ebbene, poichè:
$F(x)$ non può nemmeno essere continua in zero. In definitiva, imporre che la derivata $f(x)$ abbia una discontinuità di seconda specie non ti assicura che $F(x)$ sia derivabile.
$\alpha=2$
Ebbene, poichè:
$[x lt= 0] ^^ [f(x)=e^(2x)+2cosx] ^^ [F(x)=1/2e^(2x)+2sinx+A]$
$[x gt 0] ^^ [f(x)=log(1+x)/x^2] ^^ [F(x)=-log(1+x)/x+log(x/(1+x))+B]$
$F(x)$ non può nemmeno essere continua in zero. In definitiva, imporre che la derivata $f(x)$ abbia una discontinuità di seconda specie non ti assicura che $F(x)$ sia derivabile.
Ok grazie
"Noodles":
Per primitiva ho inteso una funzione derivabile ovunque. A questo punto, considerando le funzioni della consegna, la derivata deve necessariamente essere continua.
Ripeto: non è necessario che la funzione primitiva sia nemmeno continua per esistere, quindi chiedere che l'integranda (aka derivata) sia continua, è richiedere mooolto di più di quanto serve per l'esercizio.
Ps oltretutto chiedere che la derivata sia continua è addirittura richiedere che la funzione primitiva sia differenziabile e non solo derivabile... penso ci siano un po' (tanti) problemi di fondo qui
"Noodles":
Per primitiva ho inteso una funzione derivabile ovunque.
"cidrolin":
... con "ammettere primitiva" intendo che esiste una funzione F(x) tale che f(x)=F'(x).
Vista la precisazione di cidrolin la mia interpretazione era corretta.
"Lebesgue":
Ripeto ...
Lascio a te risolvere il problema interpretandolo diversamente. Vero è che la definizione di primitiva è piuttosto standard e coincide con quella adottata.
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