Primi,serie.
Sia $(p_n)_(n in NN)$ la successione dei numeri primi. Consideriamo ora la serie $sum^oo_(n=1) (1/p_n)$ (*).
Com’è noto, essa diverge (la dimostrazione di questo fatto si deve ad Euler, se non erro…)
Date queste premesse, m’è stato presentato un ragionamento particolare, una dimostrazione sull’infinità dei primi diversa da quella di Euclide. Il ragionamento è questo: supponiamo, per assurdo, che i primi siano in quantità finita. Allora la somma dei loro reciproci è un numero finito (in quanto somma di finiti addendi). Ma questo contraddice la (*), quindi i numeri primi devono essere per forza infiniti.
Il mio dubbio sta nella correttezza di questo ragionamento: per arrivare concludere l’infinità dei primi, si è dovuto ipotizzare l’esistenza della serie (*), che di per sé equivale a supporre la non finitezza della successione dei primi… Cioè si dimostra un fatto che già stava nelle ipotesi, anche se un po’ nascosto...
Come si risolve la questione (tengo presente che questo ragionamento è stato espresso in un corso d’analisi... Suppongo quindi che l’errore stia nel mio ragionamento, al solito!)?
Com’è noto, essa diverge (la dimostrazione di questo fatto si deve ad Euler, se non erro…)
Date queste premesse, m’è stato presentato un ragionamento particolare, una dimostrazione sull’infinità dei primi diversa da quella di Euclide. Il ragionamento è questo: supponiamo, per assurdo, che i primi siano in quantità finita. Allora la somma dei loro reciproci è un numero finito (in quanto somma di finiti addendi). Ma questo contraddice la (*), quindi i numeri primi devono essere per forza infiniti.
Il mio dubbio sta nella correttezza di questo ragionamento: per arrivare concludere l’infinità dei primi, si è dovuto ipotizzare l’esistenza della serie (*), che di per sé equivale a supporre la non finitezza della successione dei primi… Cioè si dimostra un fatto che già stava nelle ipotesi, anche se un po’ nascosto...
Come si risolve la questione (tengo presente che questo ragionamento è stato espresso in un corso d’analisi... Suppongo quindi che l’errore stia nel mio ragionamento, al solito!)?
Risposte
"Dorian":
Sia $(p_n)_(n in NN)$ la successione dei numeri primi. Consideriamo ora la serie $sum^oo_(n=1) (1/p_n)$ (*).
Com’è noto, essa diverge (la dimostrazione di questo fatto si deve ad Euler, se non erro…)
Date queste premesse, m’è stato presentato un ragionamento particolare, una dimostrazione sull’infinità dei primi diversa da quella di Euclide. Il ragionamento è questo: supponiamo, per assurdo, che i primi siano in quantità finita. Allora la somma dei loro reciproci è un numero finito (in quanto somma di finiti addendi). Ma questo contraddice la (*), quindi i numeri primi devono essere per forza infiniti.
Il mio dubbio sta nella correttezza di questo ragionamento: per arrivare concludere l’infinità dei primi, si è dovuto ipotizzare l’esistenza della serie (*), che di per sé equivale a supporre la non finitezza della successione dei primi… Cioè si dimostra un fatto che già stava nelle ipotesi, anche se un po’ nascosto...
Come si risolve la questione (tengo presente che questo ragionamento è stato espresso in un corso d’analisi... Suppongo quindi che l’errore stia nel mio ragionamento, al solito!)?
Secondo me non puoi dire che l'assurdo deriva dalla divergenza della serie. Quella serie diverge, per l'appunto, se gli addendi $(1/p_n)$ sono infiniti, ossia se i primi sono infiniti. Se supponi per assurdo che ci sia un numero $t$ finito di primi distinti,allora $sum^t_(n=1) (1/p_n)$ ovviamente converge, e non dimostri niente. Come ti è stato presentato a lezione, di preciso?
E ciò che affermo io!
Non si può dedurre l'infinità dei primi dalla divergenza della serie dei loro reciproci poichè, affermando che essa esiste, si ipotizza ciò che si vuole dimostrare!
A lezione è stato detto "Considerate la serie dei reciproci dei primi. Si dimostra (anche se non è oggetto di questo corso) che tale serie diverge. Questo fatto ci permette di dimostrare l'infinità dei numeri primi, con un ragionamento differente da quello di Euclide. " e poi è stato esposto il suddetto:
E' chiaro che qualcosa non và... Spero d'aver capito male io, spero...
Non si può dedurre l'infinità dei primi dalla divergenza della serie dei loro reciproci poichè, affermando che essa esiste, si ipotizza ciò che si vuole dimostrare!
Il mio dubbio sta nella correttezza di questo ragionamento: per arrivare concludere l’infinità dei primi, si è dovuto ipotizzare l’esistenza della serie (*), che di per sé equivale a supporre la non finitezza della successione dei primi… Cioè si dimostra un fatto che già stava nelle ipotesi, anche se un po’ nascosto...
A lezione è stato detto "Considerate la serie dei reciproci dei primi. Si dimostra (anche se non è oggetto di questo corso) che tale serie diverge. Questo fatto ci permette di dimostrare l'infinità dei numeri primi, con un ragionamento differente da quello di Euclide. " e poi è stato esposto il suddetto:
E' chiaro che qualcosa non và... Spero d'aver capito male io, spero...
"Dorian":
E ciò che affermo io!
Non si può dedurre l'infinità dei primi dalla divergenza della serie dei loro reciproci poichè, affermando che essa esiste, si ipotizza ciò che si vuole dimostrare!
Scusa, non avevo letto attentamente...
"alvinlee88":
Scusa, non avevo letto attentamente...
Nessun problema!
Mi rendo conto d'essermi espresso in maniera un pò confusa!
Quindi vedi la questione come la vedo io, giusto?
"gugo82":
Il ragionamento è un po' più fine di quanto hai capito a lezione: dai uno sguardo qui.
bella bella!!!
"gugo82":
Il ragionamento è un po' più fine di quanto hai capito a lezione: dai uno sguardo qui.
Ho capito. Ti ringrazio!
C'è però da dire che non è esattamente ciò che ho sentito a lezione... Qui non si parla della serie dei reciproci dei primi...
"Dorian":
[quote="gugo82"]Il ragionamento è un po' più fine di quanto hai capito a lezione: dai uno sguardo qui.
Ho capito. Ti ringrazio!
C'è però da dire che non è esattamente ciò che ho sentito a lezione... Qui non si parla della serie dei reciproci dei primi...[/quote]
O hai sentito male o il professore si è confuso... oppure il prof. ha voluto fare lo sborone senza conoscere i dettagli della dimostrazione!
Ho valutato attentamente l'idea di aver capito/interpretato male la questione... Ma i miei appunti di quel giorno parlano chiaro! Si è trattato di un lapsus dell'assistente del docente. Ti ringrazio per l'interesse!
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