Primi esercizi teoria della misura
Ragazzi lo so che lo troverete facile ma ho appena iniziato a studiare teoria della misura e non so come impostare gli esercizi. Mi servirebbe una dritta proprio su come farli anche per il futuro. L'es è il seguente e dovrebbe essere proprio base:
Sia $(S,\Sigma,\mu)$ uno spazio di misura. Chiamiamo un sottointervallo N di S un $(\mu,\Sigma)$-null set se esiste uno spazio $N'\in \Sigma$ con $N\subset N'$ e $\mu(N')=0$. Denotiamo con $N_\mu$ la collezione di tutti $(\mu,\Sigma)$-null sets.
Sia $\Sigma'$ la collezione dei sottointervalli E di S per i quali esiste $F,G\in \Sigma$ tale che $F\subset E\subset G$ e $\mu(G\backslashF)=0$. Per $E\in \Sigma'$ e F,G come sopra definiamo $\mu'(E)=\mu(F)$.
(a) mostrare che $\Sigma'$ è una $\sigma$-algebra e che $\Sigma'=\Sigma\vee N_\mu$($=\sigma(N_\mu\cup \Sigma)$).
(b) mostrare che $\mu'$ ristretto su $\Sigma$ coincide con $\mu$ e che $\mu'(E)$ non dipende da una specifica scelta di F in questa definizione.
Ragazzi per favore non rispondete ad esempio che devo fare vedere che una sigma algebra deve soddisfare le tre ipotesi perchè ho già studiato e la teoria la so, è solo che non sono capace ad impostare esercizi simili e devo imparare. Grazie
Sia $(S,\Sigma,\mu)$ uno spazio di misura. Chiamiamo un sottointervallo N di S un $(\mu,\Sigma)$-null set se esiste uno spazio $N'\in \Sigma$ con $N\subset N'$ e $\mu(N')=0$. Denotiamo con $N_\mu$ la collezione di tutti $(\mu,\Sigma)$-null sets.
Sia $\Sigma'$ la collezione dei sottointervalli E di S per i quali esiste $F,G\in \Sigma$ tale che $F\subset E\subset G$ e $\mu(G\backslashF)=0$. Per $E\in \Sigma'$ e F,G come sopra definiamo $\mu'(E)=\mu(F)$.
(a) mostrare che $\Sigma'$ è una $\sigma$-algebra e che $\Sigma'=\Sigma\vee N_\mu$($=\sigma(N_\mu\cup \Sigma)$).
(b) mostrare che $\mu'$ ristretto su $\Sigma$ coincide con $\mu$ e che $\mu'(E)$ non dipende da una specifica scelta di F in questa definizione.
Ragazzi per favore non rispondete ad esempio che devo fare vedere che una sigma algebra deve soddisfare le tre ipotesi perchè ho già studiato e la teoria la so, è solo che non sono capace ad impostare esercizi simili e devo imparare. Grazie
Risposte
"mattydele":
Ragazzi per favore non rispondete ad esempio che devo fare vedere che una sigma algebra deve soddisfare le tre ipotesi perchè ho già studiato e la teoria la so, è solo che non sono capace ad impostare esercizi simili e devo imparare. Grazie
Be in realtà, dovresti far vedere le tre proprietà della sigma algebra (per risolvere il primo punto).
Dunque $S in Sigma'$ è verificato perchè $ Sigma sube Sigma'$ (perchè?) e $S in Sigma$,
Prova a verificare le altre due proprietà (scrivendoti le definizioni applicate al contesto del tuo esercizio).
credo di aver capito come si risolve il punto b, devo sfruttare il fatto che $F\subset E\subset G $ e che $\mu(G\backslashF)=0$. Creo un sistema e arrivo a dire che $\mu(G)=\mu(F)=\mu(E)$. Non ho capito come faccio a dire che $\Sigma \subseteq \Sigma'$? intuitivamente mi viene da dire il contrrario visto che $E\subset G$
Allora cerca di fare un punto per volta.
Quello che hai da dimostrare e' un procedimento che ti permette di "completare" uno spazio di misura (cera un po' su internet - troverai sicuramente argomenti su questo).
L'idea e quella di estende la sigma algebra e la misura definendo misuabili ed assegnado misura 0 ai sottoinsieme di insiemi di misura nula.
Partiamo dal punto a: $Sigma sube Sigma'$ perche' se $E in Sigma$ ti basta prendere $F=G=E$ ed hai fatto (lo riesci a vedere?).
Poi devi provare:
se $ E in Sigma'$ allora $E^c in Sigma'$
se $ {E_i} in Sigma'$ per ogni $i in NN$ allora $bigcup_{i=0}^{infty} E_i in Sigma'$.
Provaci!
Quello che hai da dimostrare e' un procedimento che ti permette di "completare" uno spazio di misura (cera un po' su internet - troverai sicuramente argomenti su questo).
L'idea e quella di estende la sigma algebra e la misura definendo misuabili ed assegnado misura 0 ai sottoinsieme di insiemi di misura nula.
Partiamo dal punto a: $Sigma sube Sigma'$ perche' se $E in Sigma$ ti basta prendere $F=G=E$ ed hai fatto (lo riesci a vedere?).
Poi devi provare:
se $ E in Sigma'$ allora $E^c in Sigma'$
se $ {E_i} in Sigma'$ per ogni $i in NN$ allora $bigcup_{i=0}^{infty} E_i in Sigma'$.
Provaci!
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