Prime definizioni curve in campo complesso
Salve.
dopo il weekend su numeri complessi, sfera di riemann, funzioni complesse di variabile complessa e in primis definizione di funzione olomorfa e equazioni di cauchy - riemann. posto le prime domande relative all'argomento curve.
vado con calma e senza correre.
1) definizione sulle regioni.
$\Omega$ è una regione se $\Omega$ è non vuoto e $d\Omega$ è la sua frontiera, ed è una curva regolare a tratti.
quindi se la frontiera non è una curva regolare a tratti, non può essere definita la frontiera della regione $\Omega$?
2) Definizione di regione connessa. A quanto ho notato è una generalizzazione di quella del campo reale. (e a quanto sto notando dalle varie definizioni ... come quella di differenziabilità hanno valenza 'piu forte'....potrei sbagliarmi..)
$\Omega$ connesso allora ha come condizioni:
$\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = 0$
$\Omega_{1} \cup \Omega_{2} = \Omega$
se volessi fare un esempio?
3) Prese due curve semplici: $z^{1} (t)$ e $z^{2} (t)$, si dicono $\Omega$ - omotope se sono ''continuamente deformabli l'una sull'altra''
ho letto su wiki cito testualmente: intuitivamente l'omotopia misura la quantità di "buchi n-dimensionali"
dunque prese due curve, posso arrivare a concludere qualcosa sulla regione su cui sto lavorando?
quando viene detto ''continuamente deformabli l'una sull'altra'', dal momento che sono semplici (non si autointersecano) come fanno ad essere deformabili L'UNA SULL'ALTRA? Ci vorrebbe una gif animata
4) dopo la definizione 3) c'è subito questa:
$\exists \Gamma (s,t): [0,1] x [0,1] -> \Omega$
l'unica cosa che mi dice è:
i) $s$ è un indice e varia in $[0,1]$ ''sposta la curva''
ii) $t$ ''definisce la curva''
io la leggo così:
esiste un sostegno $\Gamma$ di indici $s$ e $t$ (che descrive la curva) il quale prodotto cartesiano ha valori in $\Omega$.
ma $s$ è possibile che sia l'ascissa curvilinea? .... sposta la curva che terminologia è? -_-
poi perchè è solo $[0,1]$?
inoltre:
$\Gamma (0,t) = z^{1} (t)$
e
$\Gamma (1,t) = z^{2} (t)$
bhò, illuminatemi un pò voi D:
dopo il weekend su numeri complessi, sfera di riemann, funzioni complesse di variabile complessa e in primis definizione di funzione olomorfa e equazioni di cauchy - riemann. posto le prime domande relative all'argomento curve.
vado con calma e senza correre.
1) definizione sulle regioni.
$\Omega$ è una regione se $\Omega$ è non vuoto e $d\Omega$ è la sua frontiera, ed è una curva regolare a tratti.
quindi se la frontiera non è una curva regolare a tratti, non può essere definita la frontiera della regione $\Omega$?
2) Definizione di regione connessa. A quanto ho notato è una generalizzazione di quella del campo reale. (e a quanto sto notando dalle varie definizioni ... come quella di differenziabilità hanno valenza 'piu forte'....potrei sbagliarmi..)
$\Omega$ connesso allora ha come condizioni:
$\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = 0$
$\Omega_{1} \cup \Omega_{2} = \Omega$
se volessi fare un esempio?
3) Prese due curve semplici: $z^{1} (t)$ e $z^{2} (t)$, si dicono $\Omega$ - omotope se sono ''continuamente deformabli l'una sull'altra''
ho letto su wiki cito testualmente: intuitivamente l'omotopia misura la quantità di "buchi n-dimensionali"
dunque prese due curve, posso arrivare a concludere qualcosa sulla regione su cui sto lavorando?
quando viene detto ''continuamente deformabli l'una sull'altra'', dal momento che sono semplici (non si autointersecano) come fanno ad essere deformabili L'UNA SULL'ALTRA? Ci vorrebbe una gif animata
4) dopo la definizione 3) c'è subito questa:
$\exists \Gamma (s,t): [0,1] x [0,1] -> \Omega$
l'unica cosa che mi dice è:
i) $s$ è un indice e varia in $[0,1]$ ''sposta la curva''
ii) $t$ ''definisce la curva''
io la leggo così:
esiste un sostegno $\Gamma$ di indici $s$ e $t$ (che descrive la curva) il quale prodotto cartesiano ha valori in $\Omega$.
ma $s$ è possibile che sia l'ascissa curvilinea? .... sposta la curva che terminologia è? -_-
poi perchè è solo $[0,1]$?
inoltre:
$\Gamma (0,t) = z^{1} (t)$
e
$\Gamma (1,t) = z^{2} (t)$
bhò, illuminatemi un pò voi D:
Risposte
"ludwigZero":
1) definizione sulle regioni.
$\Omega$ è una regione se $\Omega$ è non vuoto e $d\Omega$ è la sua frontiera, ed è una curva regolare a tratti.
Ma anche no... Almeno non nelle convenzioni comuni.
Una regione è semplicemente un insieme tale che i suoi punti di frontiera sono punti di accumulazione per i suoi punti interni; in formule \(\partial \Omega\subseteq \operatorname{der} (\operatorname{int} \Omega)\).
"ludwigZero":
quindi se la frontiera non è una curva regolare a tratti, non può essere definita la frontiera della regione $\Omega$?
Non capisco che ci azzecca la possibilità di definire la frontiera con la regolarità dell'insieme.
"ludwigZero":
2) Definizione di regione connessa. A quanto ho notato è una generalizzazione di quella del campo reale. (e a quanto sto notando dalle varie definizioni ... come quella di differenziabilità hanno valenza 'piu forte'....potrei sbagliarmi..)
$\Omega$ connesso allora ha come condizioni:
$\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = 0$
$\Omega_{1} \cup \Omega_{2} = \Omega$
Leggi bene la definizione: non l'hai capita...
Ma poi, quella definizione è la stessa che ti sarà stata presentata pure in Analisi II per le regioni piane; quindi non capisco la difficoltà che incontri.
"ludwigZero":
se volessi fare un esempio?
Un cerchio aperto è connesso.
Un quadrato aperto è connesso:
Uno "smile" è connesso.
Ma l'unione di due cerchi aperti disgiunti non lo è.
"ludwigZero":
3) Prese due curve semplici: $z^{1} (t)$ e $z^{2} (t)$, si dicono $\Omega$ - omotope se sono ''continuamente deformabli l'una sull'altra''
ho letto su wiki cito testualmente: intuitivamente l'omotopia misura la quantità di "buchi n-dimensionali"
dunque prese due curve, posso arrivare a concludere qualcosa sulla regione su cui sto lavorando?
quando viene detto ''continuamente deformabli l'una sull'altra'', dal momento che sono semplici (non si autointersecano) come fanno ad essere deformabili L'UNA SULL'ALTRA? Ci vorrebbe una gif animata
Immagina di avere un elastico, in una certa posizione, con i capi fissati.
Poi stiracchialo, sempre tenendo i capi fissati, senza romperlo... Bene: la posizione iniziale dell'elastico e quella finale (dopo lo stiramento) sono curve omotope.
La GIF non ce l'ho, ma qui ho fatto un disegnino carino.
"ludwigZero":
4) dopo la definizione 3) c'è subito questa:
$\exists \Gamma (s,t): [0,1] x [0,1] -> \Omega$
l'unica cosa che mi dice è:
i) $s$ è un indice e varia in $[0,1]$ ''sposta la curva''
ii) $t$ ''definisce la curva''
io la leggo così:
esiste un sostegno $\Gamma$ di indici $s$ e $t$ (che descrive la curva) il quale prodotto cartesiano ha valori in $\Omega$.
ma $s$ è possibile che sia l'ascissa curvilinea? .... sposta la curva che terminologia è? -_-
poi perchè è solo $[0,1]$?
inoltre:
$\Gamma (0,t) = z^{1} (t)$
e
$\Gamma (1,t) = z^{2} (t)$
bhò, illuminatemi un pò voi D:
Una scorsa al thread col disegnino può esere utile.
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