Preda predatore

[asabasa]

Buonasera, per questo sabato propongo un esercizio di sistemi dinamici, perché uscire e divertirsi é diventato troppo mainstream :p

Consideriamo il sistema di equazioni differenziali non lineari

$dotx=\alpha x (1-x)-xy$
$doty = y(x-y)-\betay$

versione semplificata del modello preda predatore con $alpha=1$ $beta=1/2$.

(a) Trovare e classificare tutti i punti di equilibrio

Pongo
$\alpha x (1-x)-xy=0$
$y(x-y)-\betay=0$

E analizzo gli autovalori della matrice jacobiana relativa ai punti di equilibrio


(b) Per tutti i punti di equilibrio trova i sottospazi invarianti della loro linearizzazione (? what?) <--- Aiutino?

Ho un'idea per queste! Dò una forma ai miei pensieri e li posto!
(c) Perché le condizioni inizali $x(0)>0$ $y(0)>0$ implicano $x(t)>0$ $y(t)>0$ $AAt$?

(d) Perché le condizioni inizali $x(0)<1$ implica $x(t)<1$ $AAt$?

(e) Le condizioni iniziali che soddisfano (c) e (d) esistono in modo che una o entrambe le specie si estinguano?

[asabasa]

b) Trovati i punti di equilibrio ho che i punti $(0,0)$ e $(1,0)$ sono di sella perché hanno autovalori di segno opposto.
i soottospazi invarianti li trovo come soluzione di

Per $(0,0)$ ho gli autovalori $\lambda_1=1 , \lambda_2=-1/2$

$(J(0,0)-I)(x,y)^T=(0,0)^T \Rightarrow E^1={(x,0) \in \mathbb{R}^2 }$

$(J(0,0)+1/2I)(x,y)^T=(0,0)^T \Rightarrow \Rightarrow E^{-1/2}={(0,y) \in \mathbb{R}^2 }$

Per $(1,0)$ ho gli autovalori $\lambda_1=-1 , \lambda_2=1/2 $

$(J(0,0)+I)(x,y)^T=(0,0)^T \Rightarrow E^{-1}={(x,-3/2x) \in \mathbb{R}^2 }$
$(J(0,0)-1/2I)(x,y)^T=(0,0)^T \Rightarrow E^{1/2}={(x,0) \in \mathbb{R}^2 }$

Mi viene richiesto di fare uno schizzo dei sottospazi trovati, come li disegno?

Per risolvere (c) e (d) il ragionamento sia lo stesso.
Ho provato a fissare prima

$x=0$
$y_0>0$

Poi

$y=0$
$x_0>0$

le cui relative solutioni sono:

$y=c_1e^{t/2$
$x=e^t/{c_2+e^t}$

e pensavo di valutare le soluzioni massimali... non so se sto procedendo nella direzione giusta, un aiutino?