Precisazione di Limite
Salve.
Se era possibile desideravo un piccolo chiarimento riguardante la basilare notazione di "Limite" per chiarirmi le idee.
Sapendo che a noi interessa il comportamento di una ipotetica funzione nei punti "estremi" o vicini ad un punto $x_0$ che può essere punto in cui la funzione non esiste.
"Se accade che, quando $x$ è molto prossima a $x_0$,
l’ordinata "y"corrispondente è molto prossima ad un certo valore $l$ allora si scriverà:
$lim_(x->0) f(x)= L .
o meglio se la distanza tra $f(x)$ ed $L$ è in relazione equivalente con la distanza $ x$ , $x_o$ esiste il limite.
In notazione analitica: $AA$ $\epsilon$>$0$ $EE$ $\delta$>$0 $ tale che |$f(x)-L$ |< $\epsilon$ $AA$ x $in X$ |x-x_0 | < $\delta$ , x $!=$ $x_0$;
Ma mi pongo una domanda...A cosa corrisponde il valore $L$ "fissato" ed inserito nell'asse delle ordinate???? cioè L fissato è proiezione di quale x ? $x_0$ per caso ??
ed ancora $f(x)$ può avere valore minore e maggiore di questo L?
Lo so è una domanda elementare... ma vorrei capire per continuare bene gli studi ,Prima di affrontare le varie forme di limite e di notazioni è essenziale capire innanzitutto di cosa stiamo parlando!
Spero di essere stato chiaro....
Grazie
Se era possibile desideravo un piccolo chiarimento riguardante la basilare notazione di "Limite" per chiarirmi le idee.
Sapendo che a noi interessa il comportamento di una ipotetica funzione nei punti "estremi" o vicini ad un punto $x_0$ che può essere punto in cui la funzione non esiste.
"Se accade che, quando $x$ è molto prossima a $x_0$,
l’ordinata "y"corrispondente è molto prossima ad un certo valore $l$ allora si scriverà:
$lim_(x->0) f(x)= L .
o meglio se la distanza tra $f(x)$ ed $L$ è in relazione equivalente con la distanza $ x$ , $x_o$ esiste il limite.
In notazione analitica: $AA$ $\epsilon$>$0$ $EE$ $\delta$>$0 $ tale che |$f(x)-L$ |< $\epsilon$ $AA$ x $in X$ |x-x_0 | < $\delta$ , x $!=$ $x_0$;
Ma mi pongo una domanda...A cosa corrisponde il valore $L$ "fissato" ed inserito nell'asse delle ordinate???? cioè L fissato è proiezione di quale x ? $x_0$ per caso ??
ed ancora $f(x)$ può avere valore minore e maggiore di questo L?
Lo so è una domanda elementare... ma vorrei capire per continuare bene gli studi ,Prima di affrontare le varie forme di limite e di notazioni è essenziale capire innanzitutto di cosa stiamo parlando!
Spero di essere stato chiaro....
Grazie
Risposte
$L$ è il valore a cui la funzione TENDE, quando $x$ tende a $x_0$.
E' chiaro che, quando poi darai la definizione di funzione continua, e saprai che f(x) è continua in un certo punto $x_0$, il limite per $x->x_0$ è proprio $f(x_0)$.
Considera una funzione di questo tipo:
$f(x) ":=" {(|x|,if x!=0),(2,if x=0):}$
Questa funzione è definita su tutto l'asse reale; anche nel punto $0$ è definita, ed è $f(0) = 2$. Tuttavia il limite per $x -> 0$ NON E' $2$ (cioè non è il valore che la funzione assume in quel punto). La nozione di limite non ha niente a che fare con il valore che la $f$ assume in $0$; tant'è che la $f$, in quel punto, può anche non essere definita.
Ma mi pongo una domanda...A cosa corrisponde il valore $L$ "fissato" ed inserito nell'asse delle ordinate???? cioè L fissato è proiezione di quale x ? $x_0$ per caso ??
E' chiaro che, quando poi darai la definizione di funzione continua, e saprai che f(x) è continua in un certo punto $x_0$, il limite per $x->x_0$ è proprio $f(x_0)$.
Considera una funzione di questo tipo:
$f(x) ":=" {(|x|,if x!=0),(2,if x=0):}$
Questa funzione è definita su tutto l'asse reale; anche nel punto $0$ è definita, ed è $f(0) = 2$. Tuttavia il limite per $x -> 0$ NON E' $2$ (cioè non è il valore che la funzione assume in quel punto). La nozione di limite non ha niente a che fare con il valore che la $f$ assume in $0$; tant'è che la $f$, in quel punto, può anche non essere definita.
"Seneca":
$L$ è il valore a cui la funzione TENDE, quando $x$ tende a $x_0$.
si...questo lo so !
Ma quale valore scegliamo ??? da definire L ??
dato che in un ipotetico intorno le $x$ che tendono a $x_0$ come sappiamo sono più di una....
Da come ho capito dai vari esempi iniziali... il limite non è un valore arbitrariamente fissato "prima" ... ma,prima, si verifica se esiste e poi all'avvicinarsi delle $x$ a $X_0$ notiamo come $f(x)$ si avvicina sempre di più a $L$ senza in teoria mai raggiungerlo....
correggetemi se sbaglio....
Grazie
Probabilmente, hai solo un po' di confusione in testa: una cosa è verificare un limite, ben altro affare è calcolarlo (e per fare ciò esistono opportune regole che forse non conosci ancora, studierai tra poco).
Diciamo così: $l$ non lo scegliamo noi a caso, ci viene dato dal testo (nel caso in cui dobbiamo verificare un limite); se invece stiamo calcolando un limite allora il valore lo troviamo noi, ma ripeto esistono procedure più o meno standard per questo.
Spero di essermi spiegato.
Diciamo così: $l$ non lo scegliamo noi a caso, ci viene dato dal testo (nel caso in cui dobbiamo verificare un limite); se invece stiamo calcolando un limite allora il valore lo troviamo noi, ma ripeto esistono procedure più o meno standard per questo.
Spero di essermi spiegato.
"Paolo90":
Probabilmente, hai solo un po' di confusione in testa: una cosa è verificare un limite, ben altro affare è calcolarlo (e per fare ciò esistono opportune regole che forse non conosci ancora, studierai tra poco).
Diciamo così: $l$ non lo scegliamo noi a caso, ci viene dato dal testo (nel caso in cui dobbiamo verificare un limite); se invece stiamo calcolando un limite allora il valore lo troviamo noi, ma ripeto esistono procedure più o meno standard per questo.
Spero di essermi spiegato.
Thanks paolo!
Ho modificato il messaggio di prima....
più o meno l'ho capito ?!
@mat100: Potresi evitare il grassetto? (Cfr. regolamento, 3.5)
Grazie.
Grazie.
Sì, più o meno ci sei. Il fatto è proprio questo: lo strumento del limite, come il suo nome stesso suggerisce, serve per capire che cosa la funzione faccia vicino a $x_0$: e, cosa molto importante, NON siamo assolutamente interessati a che cosa la funzione faccia nel punto $x_0$. Gli stiamo vicino, o come si dice in linguaggio tecnico, andiamo in un intorno "bucato" di $x_0$.
E' questa la differenza tra il concetto di continuità in un punto e limite in un punto.
Tornando al tuo $l$, vediamo se questo esempio ti aiuta.
Supponi di voler determinare $lim_(x to pi) sinx$. Se ti metti in un intorno bucato di $x=pi$ (ovvero prendi "tutti" i punti che stanno "vicino quanto vuoi" a $pi$, ma non $pi$ stesso) vedi che la funzione, man mano che ti stringi verso $pi$, si avvicina a $0$. E infatti tale limite vale proprio $0$ (e a breve lo saprai risolvere in un battito di ciglia, penso). Ovviamente, questi non sono nè il metodo rigoroso nè la definizione precisa di limite, però forse rendono l'idea.
Ti faccio notare che se avessi voluto verificare il limite, allora ci saremmo comportati in maniera un po' diversa. Ma questa è un'altra storia...
P.S. Condivido l'invito di Gugo alla moderazione nel grassetto e, se possibile, anche nei punti interrogativi (ne basta uno, tranquillo!).
E' questa la differenza tra il concetto di continuità in un punto e limite in un punto.
Tornando al tuo $l$, vediamo se questo esempio ti aiuta.
Supponi di voler determinare $lim_(x to pi) sinx$. Se ti metti in un intorno bucato di $x=pi$ (ovvero prendi "tutti" i punti che stanno "vicino quanto vuoi" a $pi$, ma non $pi$ stesso) vedi che la funzione, man mano che ti stringi verso $pi$, si avvicina a $0$. E infatti tale limite vale proprio $0$ (e a breve lo saprai risolvere in un battito di ciglia, penso). Ovviamente, questi non sono nè il metodo rigoroso nè la definizione precisa di limite, però forse rendono l'idea.
Ti faccio notare che se avessi voluto verificare il limite, allora ci saremmo comportati in maniera un po' diversa. Ma questa è un'altra storia...
P.S. Condivido l'invito di Gugo alla moderazione nel grassetto e, se possibile, anche nei punti interrogativi (ne basta uno, tranquillo!).
"Paolo90":
Sì, più o meno ci sei. Il fatto è proprio questo: lo strumento del limite, come il suo nome stesso suggerisce, serve per capire che cosa la funzione faccia vicino a $x_0$: e, cosa molto importante, NON siamo assolutamente interessati a che cosa la funzione faccia nel punto $x_0$. Gli stiamo vicino, o come si dice in linguaggio tecnico, andiamo in un intorno "bucato" di $x_0$.
E' questa la differenza tra il concetto di continuità in un punto e limite in un punto.
Tornando al tuo $l$, vediamo se questo esempio ti aiuta.
Supponi di voler determinare $lim_(x to pi) sinx$. Se ti metti in un intorno bucato di $x=pi$ (ovvero prendi "tutti" i punti che stanno "vicino quanto vuoi" a $pi$, ma non $pi$ stesso) vedi che la funzione, man mano che ti stringi verso $pi$, si avvicina a $0$. E infatti tale limite vale proprio $0$ (e a breve lo saprai risolvere in un battito di ciglia, penso). Ovviamente, questi non sono nè il metodo rigoroso nè la definizione precisa di limite, però forse rendono l'idea.
Ti faccio notare che se avessi voluto verificare il limite, allora ci saremmo comportati in maniera un po' diversa. Ma questa è un'altra storia...
P.S. Condivido l'invito di Gugo alla moderazione nel grassetto e, se possibile, anche nei punti interrogativi (ne basta uno, tranquillo!).
Scusate! per il grassetto
cmq è chiaro che non si stava volendo verificare nè calcolare nulla, era per chiarire le idee su concetti iniziali che poi giustamente risultano necessari.
Grazie dei chiarimenti.
Cordiali saluti.
Figurati. Buono studio.
Volevo aprire un altro topic, ma l'argomento inerente è presente in questo,quindi ho tenuto conto di non aprirlo.
Capito ed assimilato il concetto puramente "indicativo" e grafico del concetto di limite, come sappiamo c'è una ben nota forma analitica di unificazione delle varie notazioni.
Nella notazione Unificante dei vari concetti di limite,appunto, si ha ... l'estensione della retta reale negli intorni $+infty$ e $-infty$
in modo che si abbia il $lim_(x->0)f(x) = L $
Se accade che :
$AA$ $\epsilon$ $>0$, $EE$ $\delta$ $>0$ $;$ $AA$ $ x in X$ , con $x$ $!=$ $x_0$ $|x-x_0|$ $<$ $\delta$ $=>$ $|f(x)-L|$ $<$ $\epsilon$
Sapendo quindi che il limite c'è se si ha il rapporto di "restringimento" tra l'intervallo f(x)-l e $x-x_0$
queste due disuguaglianze con epsilon e delta in teoria dovrebberò spiegare questo concetto "elementare" ?
per chiarirci:
$\epsilon$ = Entità arbitrariamente piccola,si... ma a cosa fa rimento ? dicendo (qualunque fisso Epsilon so che significa, fissare un intorno dell'immagine "y" )
fino a quà ci siamo, quindi $|f(x)-L|$ $<$ $\epsilon$ =secondo questa disquguaglianza la distanza tra f(x) e il limite è minore dell'intorno Epsilon fissato ?
potete spiegarmi gentilmente cosa vogliono dirci le due disuguaglianze ?.
alla luce del fatto che " Verificare il Limite,vuol dire, trovare Delta";
Scusate se mi sono dilungato!
grazie.
Capito ed assimilato il concetto puramente "indicativo" e grafico del concetto di limite, come sappiamo c'è una ben nota forma analitica di unificazione delle varie notazioni.
Nella notazione Unificante dei vari concetti di limite,appunto, si ha ... l'estensione della retta reale negli intorni $+infty$ e $-infty$
in modo che si abbia il $lim_(x->0)f(x) = L $
Se accade che :
$AA$ $\epsilon$ $>0$, $EE$ $\delta$ $>0$ $;$ $AA$ $ x in X$ , con $x$ $!=$ $x_0$ $|x-x_0|$ $<$ $\delta$ $=>$ $|f(x)-L|$ $<$ $\epsilon$
Sapendo quindi che il limite c'è se si ha il rapporto di "restringimento" tra l'intervallo f(x)-l e $x-x_0$
queste due disuguaglianze con epsilon e delta in teoria dovrebberò spiegare questo concetto "elementare" ?
per chiarirci:
$\epsilon$ = Entità arbitrariamente piccola,si... ma a cosa fa rimento ? dicendo (qualunque fisso Epsilon so che significa, fissare un intorno dell'immagine "y" )
fino a quà ci siamo, quindi $|f(x)-L|$ $<$ $\epsilon$ =secondo questa disquguaglianza la distanza tra f(x) e il limite è minore dell'intorno Epsilon fissato ?
potete spiegarmi gentilmente cosa vogliono dirci le due disuguaglianze ?.
alla luce del fatto che " Verificare il Limite,vuol dire, trovare Delta";
Scusate se mi sono dilungato!
grazie.
Epsilon e delta sono rispettivamente il raggio dell'intorno del limite ed il raggio dell'intorno di x0. Sono due numeri reali positivi.
Comunque tu hai dato la definizione $\epsilon - \delta$, che, a mio modesto parere, non unifica un bel niente.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
"Seneca":
Comunque tu hai dato la definizione $\epsilon - \delta$, che, a mio modesto parere, non unifica un bel niente.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
Grazie Seneca
così come l'hai citata te . è come c'è spiegato dal libro, anzi meglio, perchè te hai aggiunto la parte col Dominio;
Nel libro c'è la parte ( Per ogni x appartentente a X ∩ U) <--- quindi una parte ristretta del dominio X.
negli appunti del prof ce l'ho diversa
!
Diversa? In che senso?
"Seneca":
Diversa? In che senso?
come quella che ho scritto prima... che non unificava niente!
"Seneca":
Comunque tu hai dato la definizione $\epsilon - \delta$, che, a mio modesto parere, non unifica un bel niente.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
Infatti.
Se sai scrivere analiticamente un intorno di un punto oppure un intorno di $oo$, puoi facilmente adattare la definizione con gli intorni ai vari casi.
Esempio: supponi di voler dare la definizione del limite infinito ($+oo$) per $x ->3$.
Def: $AA V(+oo), EE U(3) : AA x in Dom(f) nn U"°"(3) " sia " f(x) in V(+oo)$
$V(+oo) = { f(x) : f(x) > k, k in RR }$ (un intorno di infinito è una semiretta sull'asse reale, origine non compresa)
$U(3) = { x : | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
L'intorno $U$ della definizione di limite è bucato. Quindi:
$U(3) = { x : 0 < | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
Sostituendo queste espressioni analitiche degli intorni nella definizione che ti ho dato poco fa, riesci ad ottenere la definizione "del caso specifico".
"Seneca":
[quote="Seneca"]Comunque tu hai dato la definizione $\epsilon - \delta$, che, a mio modesto parere, non unifica un bel niente.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
Infatti.
Se sai scrivere analiticamente un intorno di un punto oppure un intorno di $oo$, puoi facilmente adattare la definizione con gli intorni ai vari casi.
Esempio: supponi di voler dare la definizione del limite infinito ($+oo$) per $x ->3$.
Def: $AA V(+oo), EE U(3) : AA x in Dom(f) nn U"°"(3) " sia " f(x) in V(+oo)$
$V(+oo) = { f(x) : f(x) > k, k in RR }$ (un intorno di infinito è una semiretta sull'asse reale, origine non compresa)
$U(3) = { x : | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
L'intorno $U$ della definizione di limite è bucato. Quindi:
$U(3) = { x : 0 < | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
Sostituendo queste espressioni analitiche degli intorni nella definizione che ti ho dato poco fa, riesci ad ottenere la definizione "del caso specifico".[/quote]
Esatto!
seneca sei sicuro che quell'intorno di infinito che dici te non sia una semiretta sull'asse delle ordinate Y ?
in teoria non è sull'asse delle ascisse!
"mat100":
[quote="Seneca"][quote="Seneca"]Comunque tu hai dato la definizione $\epsilon - \delta$, che, a mio modesto parere, non unifica un bel niente.
La definizione più generale possibile di limite è quella con gli intorni non esplicitati. E' quella che ti consiglio di studiare, perché può adattarsi bene a tutti i casi.
Def: $AA V(L), EE U(x_0) : AA x in Dom(f) nn U"°"(x_0) " sia " f(x) in V(L)$
Cioè, $L$ è il limite di $f(x)$ per $x -> x_0$ se, comunque fissato un intorno $V$ del limite, esiste un intorno $U$ del punto $x_0$ tale che per ogni $x$ del dominio appartenente all'intorno $U$ (escluso al più il punto $x_0$), $f(x)$ cada nell'intorno $V$ del limite $L$.
Infatti.
Se sai scrivere analiticamente un intorno di un punto oppure un intorno di $oo$, puoi facilmente adattare la definizione con gli intorni ai vari casi.
Esempio: supponi di voler dare la definizione del limite infinito ($+oo$) per $x ->3$.
Def: $AA V(+oo), EE U(3) : AA x in Dom(f) nn U"°"(3) " sia " f(x) in V(+oo)$
$V(+oo) = { f(x) : f(x) > k, k in RR }$ (un intorno di infinito è una semiretta sull'asse reale, origine non compresa)
$U(3) = { x : | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
L'intorno $U$ della definizione di limite è bucato. Quindi:
$U(3) = { x : 0 < | x - 3 | < delta , delta in RR^+}$
Sostituendo queste espressioni analitiche degli intorni nella definizione che ti ho dato poco fa, riesci ad ottenere la definizione "del caso specifico".[/quote]
Esatto!
seneca sei sicuro che quell'intorno di infinito che dici te non sia una semiretta sull'asse delle ordinate Y ?
in teoria non è sull'asse delle ascisse![/quote]
Anche l'asse delle ordinate è un asse reale. ; )
"Seneca":
Epsilon e delta sono rispettivamente il raggio dell'intorno del limite ed il raggio dell'intorno di x0. Sono due numeri reali positivi.
un appunto... delta ed epsilon rispettivamenti raggi degli intorni... l e $x_0$
ma questo raggio è definito dall' estremo "destro o sinistro" dell'intorno fino ad Xo; oppure da estremo ad estremo dell'intorno... ?
numericamente parlando...
thanks.
Ovviamente $delta$ ed $epsilon$ sono le semi-ampiezze degli intorni.
"Seneca":
Ovviamente $delta$ ed $epsilon$ sono le semi-ampiezze degli intorni.
e quindi penso sia possibile definirli anche " dall'ipotetico $x_0$ fino ad uno degli estremi" essendo semi-ampiezze!
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