Potete spiegarmi perché quest'affermazione è falsa?
Va bene anche se mi fate un esempio per capire...
"Sia f:I->R. Se f non è limitata superiormente allora esiste un xo, di accumulazione per I, tale che il limite di f(x), al tendere di x ad xo, sia più infinito"
Perché è falsa?
"Sia f:I->R. Se f non è limitata superiormente allora esiste un xo, di accumulazione per I, tale che il limite di f(x), al tendere di x ad xo, sia più infinito"
Perché è falsa?
Risposte
Direi che un controesempio può essere questo:
$I=[0,1]$, e $f(x)$ che vale $0$ sui razionali e $1/x$ sugli irrazionali.
Si ha che $f$ è illimitata superiormente, ma non esiste un $x_0$ con la proprietà richiesta.
(anche perchè per ogni $barx in [0,1]$ non esiste $lim_{x-> barx} f(x)$)
$I=[0,1]$, e $f(x)$ che vale $0$ sui razionali e $1/x$ sugli irrazionali.
Si ha che $f$ è illimitata superiormente, ma non esiste un $x_0$ con la proprietà richiesta.
(anche perchè per ogni $barx in [0,1]$ non esiste $lim_{x-> barx} f(x)$)
"Gi8":
Direi che un controesempio può essere questo:
$I=[0,1]$, e $f(x)$ che vale $0$ sui razionali e $1/x$ sugli irrazionali.
Si ha che $f$ è illimitata superiormente, ma non esiste un $x_0$ con la proprietà richiesta.
(anche perchè per ogni $barx in [0,1]$ non esiste $lim_{x-> barx} f(x)$)
Un altro controesempio potrebbe essere $f(x)=logx$? In quanto è non limitato superiormente e non esiste un xo di accumulazione che mi dia $+infty$. L'unico xo potrebbe essere proprio $+infty$ ma un punto di accumulazione appartiene ad $RR$ non ad $RR$ esteso, e quindi non esiste un xo con quella proprietà per tale funzione.
Dici che va bene?
Sì, direi che va bene. In questo caso abbiamo $I=(0,+oo)$, cioè un intervallo illimitato.
Invece nel mio controesempio c'è $I=[0,1]$, intervallo limitato.
Invece nel mio controesempio c'è $I=[0,1]$, intervallo limitato.
Grazie mille molto gentile
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