Potenziale vettore
Faccio una piccola premessa per fissare le notazioni:
Sia $\Omega$ un aperto di $RR^3$. Considereremo, per semplicità, solo campi di classe $C^{oo}$ definiti su $Omega$, cioè funzioni $F in C^{oo}(Omega,RR^3)$.
Dato $F in C^{oo}(Omega,RR^3)$, si consideri la divergenza $\text{div} F : Omega -> RR$, il rotore $rot F : Omega -> RR^3$ e la forma differenziale associata $omega_F = F_1 (x,y,z) dx + F_2 (x,y,z) dy + F_3 (x,y,z) dz$ definita su $Omega$.
Un campo $F$ si dice:
- conservativo se la forma $omega_F$ è esatta o equivalentemente esiste $f in C^{oo}(Omega,RR)$ tale che $grad f = F$. In tal caso $f$ si dice un potenziale scalare del campo $F$.
- irrotazionale se la forma $omega_F$ è chiusa o equivalentemente $rot F = 0$.
- solenoidale se $\text{div} F = 0$
- che ammette un potenziale vettore se esiste $G \in C^{oo}(Omega,RR^3)$ tale che $F= rot G$.
E' noto che $\text{conservativo} Rightarrow \text{irrotazionale}$, $\text{ammette un potenziale vettore} Rightarrow \text{solenoidale}$ e che i viceversa sono veri se $Omega$ è semplicemente connesso.
Volevo avere un esempio di un campo solenoidale ma che non ammette un potenziale vettore.
Inoltre volevo chiedere perché in fisica, quando si risolvono le equazioni di Maxwell, si dice con molta disinvoltura che poiché il campo magnetico è solenoidale (cioè ha divergenza nulla) allora ammette potenziale vettore.
Sia $\Omega$ un aperto di $RR^3$. Considereremo, per semplicità, solo campi di classe $C^{oo}$ definiti su $Omega$, cioè funzioni $F in C^{oo}(Omega,RR^3)$.
Dato $F in C^{oo}(Omega,RR^3)$, si consideri la divergenza $\text{div} F : Omega -> RR$, il rotore $rot F : Omega -> RR^3$ e la forma differenziale associata $omega_F = F_1 (x,y,z) dx + F_2 (x,y,z) dy + F_3 (x,y,z) dz$ definita su $Omega$.
Un campo $F$ si dice:
- conservativo se la forma $omega_F$ è esatta o equivalentemente esiste $f in C^{oo}(Omega,RR)$ tale che $grad f = F$. In tal caso $f$ si dice un potenziale scalare del campo $F$.
- irrotazionale se la forma $omega_F$ è chiusa o equivalentemente $rot F = 0$.
- solenoidale se $\text{div} F = 0$
- che ammette un potenziale vettore se esiste $G \in C^{oo}(Omega,RR^3)$ tale che $F= rot G$.
E' noto che $\text{conservativo} Rightarrow \text{irrotazionale}$, $\text{ammette un potenziale vettore} Rightarrow \text{solenoidale}$ e che i viceversa sono veri se $Omega$ è semplicemente connesso.
Volevo avere un esempio di un campo solenoidale ma che non ammette un potenziale vettore.
Inoltre volevo chiedere perché in fisica, quando si risolvono le equazioni di Maxwell, si dice con molta disinvoltura che poiché il campo magnetico è solenoidale (cioè ha divergenza nulla) allora ammette potenziale vettore.
Risposte
L'unico controesempio che potresti trovare è lavorando con un aperto non semplicemente connesso in $RR^3$. La cosa più semplice che potresti fare è considerare l'insieme $RR^3 - {(t,0,0) | t \in RR}$, oppure $RR^3 - (S^1 x {0})$ (lo spazio senza un cerchio) e tentare di trovare una 3-forma chiusa definita su questi spazi che non sia esatta. Ma mi sembra molto ostica la cosa.
"pat87":
tentare di trovare una 3-forma chiusa definita su questi spazi che non sia esatta
No!! Cercare una forma chiusa ma non esatta equivale a cercare un campo irrotazionale ma non conservativo! E per far questo basta considerare la forma $1/z dz$ definita su $CC - {0}$ e questo esempio si generalizza banalmente a una forma definita su $RR^3 - \text{asse} z$.
Io invece voglio un campo solenoidale ma che non ammetta un potenziale vettore!
Il campo elettrico:
$vecE=1/(4piepsilon_0) Q/r^2 vecu_r$: La div in coordinate polari è$1/r^2 der(r^2E)/(derr)(=0$, eppure il campo non ha flusso nullo attraverso ogni superficie, infatti se prendi una qualsiasi superficie che contiene l'origine hai $phi(E)=Q/epsilon_0$. Ricorda infatti che non vale qui il teorema della divergenza perchè l'interno della superficie non è completamente contenuto in domE, che è $RR^3-{0,0,0}.
Quindi non esiste potenziale vettoriale. O meglio esiste ma "localmente", cioè in tutti i domini contenuti interamente nel domE. Un po' come esiste un potenziale scalare locale per campi localmente conservativi. Per il campo magnetico si riesce a trovare anche l'espressione di questo, e dipende dall'angolo solido...
La fregatura è che un campo solenoidale ammette potenziale vettore solo se il dominio è tale che ogni superficie contenuta in domE abbia l'interno contenuto nel dominio del campo. Se ciò non succede, non è garantita l'esistenza di un potenziale vettoriale su tutto il dominio del campo E.
Ricorda poi che tutti questi discorsi valgono se il campo è di classe $C^1(A)$, con A solito aperto connesso. Altrimenti il teorema di Schwartz non vale più, e quindi si possono trovare campi che hanno potenziale scalare ma che hanno il rotore non nullo, e campi con potenziale vettore che hanno divergenza non nulla.
$vecE=1/(4piepsilon_0) Q/r^2 vecu_r$: La div in coordinate polari è$1/r^2 der(r^2E)/(derr)(=0$, eppure il campo non ha flusso nullo attraverso ogni superficie, infatti se prendi una qualsiasi superficie che contiene l'origine hai $phi(E)=Q/epsilon_0$. Ricorda infatti che non vale qui il teorema della divergenza perchè l'interno della superficie non è completamente contenuto in domE, che è $RR^3-{0,0,0}.
Quindi non esiste potenziale vettoriale. O meglio esiste ma "localmente", cioè in tutti i domini contenuti interamente nel domE. Un po' come esiste un potenziale scalare locale per campi localmente conservativi. Per il campo magnetico si riesce a trovare anche l'espressione di questo, e dipende dall'angolo solido...
La fregatura è che un campo solenoidale ammette potenziale vettore solo se il dominio è tale che ogni superficie contenuta in domE abbia l'interno contenuto nel dominio del campo. Se ciò non succede, non è garantita l'esistenza di un potenziale vettoriale su tutto il dominio del campo E.
Ricorda poi che tutti questi discorsi valgono se il campo è di classe $C^1(A)$, con A solito aperto connesso. Altrimenti il teorema di Schwartz non vale più, e quindi si possono trovare campi che hanno potenziale scalare ma che hanno il rotore non nullo, e campi con potenziale vettore che hanno divergenza non nulla.
Non ho capito molto bene cosa ha scritto antani, quindi provo a riformulare..
Considero il campo $F \ : \ RR^3 - {(0,0,0)} rightarrow RR^3$
$F(x,y,z) = ( \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}})$.
Si vede che $\text{div} F= \frac{partial F_1}{partial x} + \frac{partial F_2}{partial y} + \frac{partial F_3}{partial z} = 0$, quindi il campo $F$ è solenoidale.
Ora mostro che il campo $F$ non ammette un potenziale vettore: per assurdo esiste $V \in C^{oo}(RR^3 - {0},RR^3)$ tale che $F = rot V$; allora consideriamo $omega = V_1 dx + V_2 dy + V_3 dz$ forma differenziale definita su $RR^3 - {0}$. Allora se $Sigma$ è una superficie contenuta in $RR^3 - {0}$ si ha, per la formula di Stokes, $int_{partial Sigma} omega = int_{Sigma} < rot V , nu > d sigma = int_{Sigma} < F , nu > d sigma $ = flusso di F attraverso $Sigma$.
Allora prendo $Sigma$ la sfera unitaria e si ha $0 = int_{partial Sigma} omega = int_{Sigma} d sigma = ||F(1,0,0)|| 4 pi = 4 pi$ che è assurdo.
Intendevi questo antani?
Considero il campo $F \ : \ RR^3 - {(0,0,0)} rightarrow RR^3$
$F(x,y,z) = ( \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}})$.
Si vede che $\text{div} F= \frac{partial F_1}{partial x} + \frac{partial F_2}{partial y} + \frac{partial F_3}{partial z} = 0$, quindi il campo $F$ è solenoidale.
Ora mostro che il campo $F$ non ammette un potenziale vettore: per assurdo esiste $V \in C^{oo}(RR^3 - {0},RR^3)$ tale che $F = rot V$; allora consideriamo $omega = V_1 dx + V_2 dy + V_3 dz$ forma differenziale definita su $RR^3 - {0}$. Allora se $Sigma$ è una superficie contenuta in $RR^3 - {0}$ si ha, per la formula di Stokes, $int_{partial Sigma} omega = int_{Sigma} < rot V , nu > d sigma = int_{Sigma} < F , nu > d sigma $ = flusso di F attraverso $Sigma$.
Allora prendo $Sigma$ la sfera unitaria e si ha $0 = int_{partial Sigma} omega = int_{Sigma}
Intendevi questo antani?
sì esatto. Se fosse "rotore di un altro campo", il flusso attraverso OGNI superficie sarebbe 0. Invece qua si vede che non è così. Eppure il campo è solenoidale (div nulla). Io ho preso un esempio dalla fisica (sai studio fisica quindi che altro potevo fare 
), cioè il campo elettrostatico, il flusso l'ho fatto col teorema di Gauss
), cioè il campo elettrostatico, il flusso l'ho fatto col teorema di Gauss
Ok, grazie!
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