Potenziale quasi quadratico
Sia dato un potenziale della forma
$ U(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey $
con $ a,b,c,d,e $ costanti reali
e sia $ ( x^(eq),y^(eq) ) $ una posizione di equilibrio
ossia tale che le derivate parziali prime di $ U $ calcolate in $ ( x^(eq),y^(eq) ) $ sono nulle: $ frac{partialU}{partialx}=0 $ e $ frac{partialU}{partialy}=0 $.
A me risulta che con il cambio di coordinate
$ { ( x=q_(1)+x^(eq) ),( y=q_(2)+y^(eq) ):} $
si ottiene
$ U(q_(1),q_(2))=alphaq_(1)^2+betaq_(1)q_(2)+gammaq_(2)^2+delta $
con $ alpha,beta,gamma,delta $ costanti reali,
quindi un potenziale quadratico in $ q_(1),q_(2) $ a meno di una costante reale $delta$.
Svolgendo i calcoli ho verificato che il discorso fila, ma, che voi sappiate,
c'è dietro un motivo matematico più profondo?
Grazie
Simone
$ U(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey $
con $ a,b,c,d,e $ costanti reali
e sia $ ( x^(eq),y^(eq) ) $ una posizione di equilibrio
ossia tale che le derivate parziali prime di $ U $ calcolate in $ ( x^(eq),y^(eq) ) $ sono nulle: $ frac{partialU}{partialx}=0 $ e $ frac{partialU}{partialy}=0 $.
A me risulta che con il cambio di coordinate
$ { ( x=q_(1)+x^(eq) ),( y=q_(2)+y^(eq) ):} $
si ottiene
$ U(q_(1),q_(2))=alphaq_(1)^2+betaq_(1)q_(2)+gammaq_(2)^2+delta $
con $ alpha,beta,gamma,delta $ costanti reali,
quindi un potenziale quadratico in $ q_(1),q_(2) $ a meno di una costante reale $delta$.
Svolgendo i calcoli ho verificato che il discorso fila, ma, che voi sappiate,
c'è dietro un motivo matematico più profondo?
Grazie
Simone
Risposte
Forse c'entra la riduzione a forma canonica di una conica...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo