Potenziale di un campo vettoriale?
ho il seguente campo vettoriale $(y^2*e^(xy^2)+1/(x+y))i +(2xy*e^(xy^2)+1/(x+y))j $ di cui devo trovare il potenziale, è un esercizio standard che non crea molti problemi, ho provato però a calcolare il potenziale con la definizione , sono partito dall'origine spostandomi lungo le x e bloccando la y a 0 e ho calcolato l'integrale ho sommato poi l'integrale del 2 cammino (tenendo fissa la $x$ a $x'$ e muovendomi da $y=0 $ ovvero lungo la retta vericale $x'=0$. il risultato però non combacia con quello del libro. ho ottenuto $logx+e^(x'y)+log(x'+y)$ cosa sbaglio?
forse non posso partire da $(0,0)$ perchè nell'origine F non è conservativo. giusto?
forse non posso partire da $(0,0)$ perchè nell'origine F non è conservativo. giusto?
Risposte
dove sbaglio?
Ciao, hai verificato le condizioni necessaria perchè F ammetta potenziale?
Inoltre nell'origine il campo non è proprio definito!
Inoltre nell'origine il campo non è proprio definito!
si, ho verificato. e so che il campo non è definito(l'ho scirtto sopra). quindi non posso partire dall'origine?
il ragionamento che ho fatto sopra vi sembra giusto?
il ragionamento che ho fatto sopra vi sembra giusto?
$\F=(f,g)$ ammette potenziale $\rightarrow EE phi: RR^2 to RR$ tale che $\grad phi=F$
Allora $\(delphi)/(delx)=f$ e $\(delphi)/(dely)=g$
$\phi=int f dx = ln(y+x)+e^(xy^2) + c(y)$ ovvero una costante che può dipendere da y.
Ora imponi che $\(delphi)/(dely)= 2xy + e^(xy^2) + 1/(x+y) + c'(y) = 2xy + e^(xy^2) + 1/(x+y)$ e semplificando $\c'(y)=0$ ovvero $\c(y)=c$
Allora $\(delphi)/(delx)=f$ e $\(delphi)/(dely)=g$
$\phi=int f dx = ln(y+x)+e^(xy^2) + c(y)$ ovvero una costante che può dipendere da y.
Ora imponi che $\(delphi)/(dely)= 2xy + e^(xy^2) + 1/(x+y) + c'(y) = 2xy + e^(xy^2) + 1/(x+y)$ e semplificando $\c'(y)=0$ ovvero $\c(y)=c$
@lawrencetb: intanto ti ringrazio per l'interesse. ma in questo modo "standard" l'ho già fatto.
volevo sapere se il ragionamento che faccio(quello sopra) sia giusto.
però non credo lo sia perchè nell'origine il campo non è definito; quindi cosa si può fare per far tornare i conti?
volevo sapere se il ragionamento che faccio(quello sopra) sia giusto.
però non credo lo sia perchè nell'origine il campo non è definito; quindi cosa si può fare per far tornare i conti?
Intanto calcola il potenziale separatamente nei due semipiani $\Omega^+ = \{y > -x\}$ e $\Omega^{-} = \{ y < -x\}$.
Su $\Omega^+$ puoi partire, ad esempio, dal punto $P_0 = (1,1)$.
Per calcolare il potenziale in $P = (x,y) \in \Omega^+$, puoi seguire una spezzata $P_0 Q P$, scegliendo $Q= (1,y)$ oppure $Q=(x,1)$ in maniera tale che tutta la spezzata sia contenuta in $\Omega^+$.
Su $\Omega^+$ puoi partire, ad esempio, dal punto $P_0 = (1,1)$.
Per calcolare il potenziale in $P = (x,y) \in \Omega^+$, puoi seguire una spezzata $P_0 Q P$, scegliendo $Q= (1,y)$ oppure $Q=(x,1)$ in maniera tale che tutta la spezzata sia contenuta in $\Omega^+$.
Scusami, avevo capito che non riuscivi semplicemente a trovare il potenziale!
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