Potenziale di un campo vettoriale

[sfrasson1]

Se $U(x, y, z) $è un potenziale del campo vettoriale $F(x, y, z) =(z^3+6xy^2, 6x^2y+1, 3xz^2)$ con $U(0, 0,0)=0$, allora $U(1,1,1)$ vale
1) - 3
2) 1
3) 5
4) 3

$U=int(z^3+6xy^2)dx =xz^3+3y^2x^2 +H(y) $
$d/dy(3y^2x^2) =6x^2y$
$6x^2y+H'(y)=6x^2y+1$
$H(y)=int(1)dy=y + M(z)$
$M'(z) =3xz^2$
$M(z) = int(3xz^2)dz = xz^3 +C$
$U=xz^3+3y^2x^2+y+xz^3$
$U(1,1,1)=1+3+1+1=6$

Il risultato non rientra nelle possibili risposte, qualcuno sa dirmi cosa ho sbagliato?

[Bokonon]

C'è un $xz^3$ di troppo

[sfrasson1]

ho provato a rifarlo ma continuano a venirmi fuori due $xz^3$ uno dopo il primo integrale (dx) e l'altro nell'ultimo integrale (dz) non trovo l'errore...

[pilloeffe]

Ciao sfrasson,

Facciamo le cose per bene:

$ U=\int(z^3+6xy^2)\text{d}x =xz^3+3x^2 y^2 + H(y) + M(z) $

$(\del U)/(\del y) = 6x^2 y + H'(y) = 6x^2 y + 1 \implies H(y) = y + k_1 $

$(\del U)/(\del z) = 3x z^2 + M'(z) = 3 x z^2 \implies M'(z) = 0 \implies M(z) = k_2 $

In definitiva si ha:

$ U(x, y, z) = xz^3+3y^2x^2 + y + k_1 + k_2 = xz^3+3y^2x^2 + y + c $

Avendo posto $c := k_1 + k_2 $. Dato che il testo del quesito afferma che $U(0,0,0) = 0 $, questo significa che $c = 0 $, per cui si ha:

$U(x, y, z) = xz^3+3x^2 y^2 + y \implies U(1, 1, 1) = 1 + 3 + 1 = 5 $

Pertanto la risposta corretta è la 3).

[sfrasson1]

ok ora ho capito cosa stavo sbagliando, grazie mille .

[dissonance]

Tipico esempio di come fare un mare di conti inutili, buttandosi a macchinetta nei calcoli invece di riflettere.

Un modo molto più efficiente è il seguente. Sappiamo che \(\nabla U=F\), per ipotesi; quindi,
\[
\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} F\cdot ds = U(1, 1, 1)-U(0,0,0), \]
e \(U(0,0,0)=0\), perciò resta solo da calcolare l'integrale di linea. La scrittura \(\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\) indica che si può prendere un qualsiasi cammino che vada da \((0,0,0)\) a \((1,1,1)\); quindi possiamo considerare il cammino
\[\tag{1}
x=t,\quad y=t, \quad z=t,\quad t\in[0,1];\]
cosicché \(dx=dy=dz=dt\) lungo questo cammino. Ora,
\[
F\cdot ds = (z^3+6xy^2)dx + (6x^2y+1)dy + 3xz^2dz, \]
perciò, sostituendo le equazioni della (1),
\[
F\cdot ds=(16t^3+1)\, dt, \]
e ci siamo ridotti a calcolare
\[
\int_0^1(16t^3+1)\, dt =\big[4t^4+t\big]^{t=1}_{t=0}= 5.\]
La risposta corretta era, quindi, la terza.

Si tratta di un conto IMMENSAMENTE più semplice che calcolare tutto il potenziale \(U\). Cerca di ragionare, prima di buttarti su un esercizio.