Potenziale di un campo vettoriale
Ciao a tutti.
Ho un problema con il seguente esercizio.
Dato il campo vettoriale \( F(x,y)=(-\frac{xy^2}{x^4+y^4},\frac{x^2y}{x^4+y^4}) \) , stabilire se è conservativo nel suo dominio ed eventualmente determinare un potenziale.
Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio non è semplicemente connesso, il campo è di classe C^1 e il quadrato \( \gamma \) di centro l'origine e lato 2 con vertice nei punti (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1) è una curva regolare a tratti, semplice e chiusa tale che \( \int_\gamma F ds=0 \).
Tuttavia ho dei dubbi sul potenziale. Cerco quindi una funzione \( \phi \) definita su \( \mathbb{R^2}\setminus\{(0,0)\} \)tale che \( \bigtriangledown \phi=F \).
Allora \( u(x,y)=\displaystyle\int F_2dy=\int\frac{x^2y}{x^4+y^4} dy=\int\frac{x^2y}{x^4[1+(\frac{y^2}{x^2})^2]}=\frac{1}{2}\int\frac{\frac{2}{x^2}y}{[1+(\frac{y^2}{x^2})^2]}dy=\frac{1}{2}\arctan{(\frac{x^2}{y^2})}+c(x) \)
Poi \( \frac{\partial^{}u}{\partial y}=F_2\iff c'(x)=0 \) da cui \( c(x)=k \) con \( k\in\mathbb{R} \)
Basta scegliere k e ottengo un potenziale....Peccato che non sia definito sul dominio perché nei passaggi, per dividere per $x^2$, ho dovuto escludere l'asse y.
Come si fa??? Qualcuno può darmi una mano?
Ho un problema con il seguente esercizio.
Dato il campo vettoriale \( F(x,y)=(-\frac{xy^2}{x^4+y^4},\frac{x^2y}{x^4+y^4}) \) , stabilire se è conservativo nel suo dominio ed eventualmente determinare un potenziale.
Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio non è semplicemente connesso, il campo è di classe C^1 e il quadrato \( \gamma \) di centro l'origine e lato 2 con vertice nei punti (-1,1), (1,1), (1,-1) e (-1,-1) è una curva regolare a tratti, semplice e chiusa tale che \( \int_\gamma F ds=0 \).
Tuttavia ho dei dubbi sul potenziale. Cerco quindi una funzione \( \phi \) definita su \( \mathbb{R^2}\setminus\{(0,0)\} \)tale che \( \bigtriangledown \phi=F \).
Allora \( u(x,y)=\displaystyle\int F_2dy=\int\frac{x^2y}{x^4+y^4} dy=\int\frac{x^2y}{x^4[1+(\frac{y^2}{x^2})^2]}=\frac{1}{2}\int\frac{\frac{2}{x^2}y}{[1+(\frac{y^2}{x^2})^2]}dy=\frac{1}{2}\arctan{(\frac{x^2}{y^2})}+c(x) \)
Poi \( \frac{\partial^{}u}{\partial y}=F_2\iff c'(x)=0 \) da cui \( c(x)=k \) con \( k\in\mathbb{R} \)
Basta scegliere k e ottengo un potenziale....Peccato che non sia definito sul dominio perché nei passaggi, per dividere per $x^2$, ho dovuto escludere l'asse y.
Come si fa??? Qualcuno può darmi una mano?
Risposte
"mauri54":
Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio è semplicemente connesso
In questo caso non puoi sfruttare la semplice connessione dell'insieme unita all'irrotazionalità (rotore nullo), proprio perché quell'insieme non è semplicemente connesso (la forma differenziale associata non è definita nell'origine).
Quindi la condizione di irrotazionalità non basta a dire che esiste un potenziale, ma... (completa la frase).
"Mephlip":
[quote="mauri54"]Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo, il dominio è semplicemente connesso
In questo caso non puoi sfruttare la semplice connessione dell'insieme unita all'irrotazionalità (rotore nullo), proprio perché quell'insieme non è semplicemente connesso (la forma differenziale associata non è definita nell'origine).
Quindi la condizione di irrotazionalità non basta a dire che esiste un potenziale, ma... (completa la frase).[/quote]
No ho sbagliato a scrivere e mi sono dimenticato un "non". Doveva essere un NON è semplicemente connesso però se trovi una curva regolare a tratti semplice e chiusa che circondi (0,0) è sufficiente per dire che è conservativo.
"mauri54":
Allora per verificare che è conservativo è facile perché il rotore è nullo
Immagino intendessi dire che è una forma chiusa in un dominio non semplicemente connesso.
E quindi sei andato a controllare cosa accade intorno a (0,0) e correttamente hai dedotto che il campo è conservativo anche se il potenziale non è definito in quel punto.
A me pare tutto ok eccetto che:
\( u(x,y)=\frac{-1}{2}\arctan{(\frac{x^2}{y^2})}+C \)
"mauri54":
Peccato che non sia definito sul dominio perché nei passaggi, per dividere per $x^2$, ho dovuto escludere l'asse y.
Quando escludi dal dominio il punto (0,0), allora non è un problema...la cosa importante era appunto verificare che nell'intorno dell'origine fosse irrotazionale.
Però un momento! Il dominio esclude tutti i punti (x,0) quindi tutto l'asse delle X e non solo (0,0).
Sono rinco.
Sono rinco.
"Bokonon":
Però un momento! Il dominio esclude tutti i punti (x,0) quindi tutto l'asse delle X e non solo (0,0).
Sono rinco.
Si se vuoi con il linguaggio delle 1-forme si dice che la forma è chiusa.
Si il problema è che il potenziale non è definito su tutto \( \mathbb{R^2}\setminus\{(0,0)\} \) ma solo su \( \mathbb{R^2}\setminus\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \).
Un'idea era prolungarlo per continuità ma non mi sembra che il prolungamento sia differenziabile.
Era un esercizio di un compito di ingegneria; mi aspetto che sia un po' più semplice.
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