Potenziale di Biot Savart
Buongiorno.
Sto studiando gli integrali curvilinei di forme differenziali ma casco su un esempio semplice. Il campo vettoriale è definito da F=($ y/(x^2+y^2) $ , $ -x/(x^2+y^2) $ ). Le derivate parziali miste sono uguali e definite in tutto $RR^2$\{(0,0)}
Questo implica che è chiusa in $RR^2$\{(o,o)} che non è un semplicemente connesso. Ma prendendo un qualsiasi insieme non contenente (0,0) dovrebbe essere definito un potenziale.
Allora integrando rispetto a x la prima componente del campo vettoriale e verificando derivando rispetto a y ottengo un potenziale U= $ arctg(x/y) +c $ oppure procedendo al contrario $ -arctg(y/x) +c $
Prendendo per esempio il primo è definito in $RR^2$\{y=0}, e non si puo prolungare per continuità per y$rarr$0. Il potenziale non dovrebbe essere definito pure in y=0? Prendendo per esempiola una circonferenza qualsiasi non contenente l'origine e che taglia l'asse y, non dovrebbe essere definto il potenziale in ogni suo punto, essendo contenuta in un insieme semplicemente connesso?
Sto studiando gli integrali curvilinei di forme differenziali ma casco su un esempio semplice. Il campo vettoriale è definito da F=($ y/(x^2+y^2) $ , $ -x/(x^2+y^2) $ ). Le derivate parziali miste sono uguali e definite in tutto $RR^2$\{(0,0)}
Questo implica che è chiusa in $RR^2$\{(o,o)} che non è un semplicemente connesso. Ma prendendo un qualsiasi insieme non contenente (0,0) dovrebbe essere definito un potenziale.
Allora integrando rispetto a x la prima componente del campo vettoriale e verificando derivando rispetto a y ottengo un potenziale U= $ arctg(x/y) +c $ oppure procedendo al contrario $ -arctg(y/x) +c $
Prendendo per esempio il primo è definito in $RR^2$\{y=0}, e non si puo prolungare per continuità per y$rarr$0. Il potenziale non dovrebbe essere definito pure in y=0? Prendendo per esempiola una circonferenza qualsiasi non contenente l'origine e che taglia l'asse y, non dovrebbe essere definto il potenziale in ogni suo punto, essendo contenuta in un insieme semplicemente connesso?
Risposte
Tutto giustissimo, tranne questo:
E no. Non ti basta togliere l'origine. Ricordati cosa significa "semplicemente connesso". Il piano intero con un buchino ti pare semplicemente connesso?
Questo esempio è proprio il prototipo di una forma differenziale priva di primitive globali per problemi topologici del suo dominio.
Questo implica che è chiusa in R2\{(o,o)} che non è un semplicemente connesso. Ma prendendo un qualsiasi insieme non contenente (0,0) dovrebbe essere definito un potenziale.
E no. Non ti basta togliere l'origine. Ricordati cosa significa "semplicemente connesso". Il piano intero con un buchino ti pare semplicemente connesso?
Questo esempio è proprio il prototipo di una forma differenziale priva di primitive globali per problemi topologici del suo dominio.
Giusto. Mi hai fatto rendere conto della stupidaggine che ho scritto!
Però il dubbio mi rimane; prendendo ad esempio il dominio interno alla circonferenza $ (y-3)^2+x^2=4 $ in questo caso si un semplicemente connesso, perché il potenziale non è definito per y=0?
Però il dubbio mi rimane; prendendo ad esempio il dominio interno alla circonferenza $ (y-3)^2+x^2=4 $ in questo caso si un semplicemente connesso, perché il potenziale non è definito per y=0?
Ah ma questo si risolve subito. Invece di prendere \(\arctan\left(\frac{x}{y}\right)\) prova a prendere \(-\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\).
Giusto anche questo! Ma se prendessi un insieme semplicemente connesso che contenga un pezzettino dell'asse x e un altro dell'asse y, come definisco un potenziale in questo caso?
Poi un altro patema d'animo: dato che il potenziale dell'esempio è un gradiente e ho trovato due potenziali, per il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali curvilinei dovrebbe essere che i potenziali differiscono di una costante, ma $arctg(x/y)+arctg(y/x)$ = $pi/2$ se $xy>0$ opp. $-pi/2$ se $xy<0$. Forse è perché non sono continui in $RR^2"$ i potenziali?
Scusate ma oggi mi sento molto problematico!
Poi un altro patema d'animo: dato che il potenziale dell'esempio è un gradiente e ho trovato due potenziali, per il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali curvilinei dovrebbe essere che i potenziali differiscono di una costante, ma $arctg(x/y)+arctg(y/x)$ = $pi/2$ se $xy>0$ opp. $-pi/2$ se $xy<0$. Forse è perché non sono continui in $RR^2"$ i potenziali?
Scusate ma oggi mi sento molto problematico!
Questo esempio si capisce bene quando studi un pochino di analisi complessa. Una primitiva globale di questa forma differenziale, se esistesse, dovrebbe coincidere con la funzione "argomento", che assegna ad un numero complesso l'angolo che esso forma con l'asse reale (o con qualsiasi altro asse, tanto cambiando asse si aggiunge solo una costante additiva). Il guaio è che l'argomento di un numero complesso, come sai, non è unico:
\[
\mathrm{arg}(r \angle \theta)=\theta + 2k \pi, \qquad k\in \mathbb{Z},\]
nel senso che, una volta trovato un argomento \(\theta\), tutti gli altri differiscono per un multiplo intero di \(2\pi\). Quindi questa non è una funzione nel senso che siamo abituati a considerare, e soprattutto, non è una valida primitiva della forma differenziale assegnata. Si possono però fissare delle determinazioni della funzione argomento: preso un intervallo \([a, a+2\pi)\), esiste un solo valore di \(k\) tale che \(\theta+2k \pi \in [a, a+2\pi)\). Si ottiene così una vera funzione
\[
\mathrm{arg}_a\colon \mathbb{C}\setminus\{0\}\to [a, a+2\pi), \]
che però non è continua ovunque, perché ha una semiretta (corrispondente all'argomento \(\theta= a\)) su cui salta bruscamente da \(a+2\pi\) ad \(a\). Quindi \(\mathrm{arg}_a\) è una primitiva della tua forma differenziale non su tutto \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) ma solo sul piano privato della semiretta di discontinuità. E infatti, togliendo una semiretta al piano bucato vedi bene che si ottiene un insieme semplicemente connesso.
L'espressione analitica esplicita di \(\mathrm{arg}_a\) si può trovare qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Argument_% ... omputation
Non che sia particolarmente importante, eh. Ma dando una occhiata ci renderemo subito conto da dove venivano fuori quelle arcotangenti prima.
\[
\mathrm{arg}(r \angle \theta)=\theta + 2k \pi, \qquad k\in \mathbb{Z},\]
nel senso che, una volta trovato un argomento \(\theta\), tutti gli altri differiscono per un multiplo intero di \(2\pi\). Quindi questa non è una funzione nel senso che siamo abituati a considerare, e soprattutto, non è una valida primitiva della forma differenziale assegnata. Si possono però fissare delle determinazioni della funzione argomento: preso un intervallo \([a, a+2\pi)\), esiste un solo valore di \(k\) tale che \(\theta+2k \pi \in [a, a+2\pi)\). Si ottiene così una vera funzione
\[
\mathrm{arg}_a\colon \mathbb{C}\setminus\{0\}\to [a, a+2\pi), \]
che però non è continua ovunque, perché ha una semiretta (corrispondente all'argomento \(\theta= a\)) su cui salta bruscamente da \(a+2\pi\) ad \(a\). Quindi \(\mathrm{arg}_a\) è una primitiva della tua forma differenziale non su tutto \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\) ma solo sul piano privato della semiretta di discontinuità. E infatti, togliendo una semiretta al piano bucato vedi bene che si ottiene un insieme semplicemente connesso.
L'espressione analitica esplicita di \(\mathrm{arg}_a\) si può trovare qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Argument_% ... omputation
Non che sia particolarmente importante, eh. Ma dando una occhiata ci renderemo subito conto da dove venivano fuori quelle arcotangenti prima.
Tutto chiaro. Penso di aver capito l'idea; purtroppo sull'analisi complessa e la funzione argomento ne so ben poco, d'altronde sono solo uno studente al primo anno di ingegneria.
Ti ringrazio e ti faccio notare che rispondere la domenica mattina così esaurientemente denota un grande amore per la materia e un grande interesse per risolvere i problemi degli altri!!
Un ultima curiosità(questa volta sì, ultima) per un insieme fatto, per esempio, in questa maniera come si definirebbe il potenziale visto che ogni semiretta taglia il dominio?
Sono contento di esserti stato d'aiuto. L'analisi complessa, non ti preoccupare, la ritroverai più avanti, credo che per voi ingegneri sia piuttosto importante.
Calcolare il potenziale su quel dominio \(D\) là, invece, è una faccenda più delicata dal forte sapore geometrico. Una maniera è trovare una trasformazione \(T\colon C\to D\) che applica un cerchio \(C\) sul tuo dominio sciancato. Si interpreta questa trasformazione come un cambio di variabili:
\[\tag{1}
T(x', y') = (x, y),
\]
dove \(\mathbf{x}'\) sono le coordinate sul cerchio e \(\mathbf{x}\) sul dominio sciancato. A questo punto si trova l'espressione per \(\omega\) in questo nuovo sistema di coordinate. Per questo si usa la (1) insieme alla regola della catena, per trasformare i differenziali:
\[\begin{array}{cc}
dx=\frac{\partial T_1}{\partial x'} dx'+ \frac{\partial T_1}{\partial y'}dy',&dy=\frac{\partial T_2}{\partial x'} dx'+ \frac{\partial T_2}{\partial y'}dy'.
\end{array}\]
Il risultato di questa operazione (nota in geometria come pull-back della forma differenziale \(\omega\)) è una forma differenziale sul cerchio \(C\). Possibilmente la sua espressione analitica sarà complicata, ma sicuramente sarà una forma chiusa, e quindi esatta su \(C\). Inoltre questo dominio è particolarmente simmetrico e quindi sperabilmente si può procedere con l'integrazione esplicita. Fatto questo si può ritornare alle variabili \((x, y)\) e avere una primitiva per \(\omega\).
Poi possibilmente c'è una maniera di integrare \(\omega\) direttamente sul dominio sciancato, ma io non la conosco.
Calcolare il potenziale su quel dominio \(D\) là, invece, è una faccenda più delicata dal forte sapore geometrico. Una maniera è trovare una trasformazione \(T\colon C\to D\) che applica un cerchio \(C\) sul tuo dominio sciancato. Si interpreta questa trasformazione come un cambio di variabili:
\[\tag{1}
T(x', y') = (x, y),
\]
dove \(\mathbf{x}'\) sono le coordinate sul cerchio e \(\mathbf{x}\) sul dominio sciancato. A questo punto si trova l'espressione per \(\omega\) in questo nuovo sistema di coordinate. Per questo si usa la (1) insieme alla regola della catena, per trasformare i differenziali:
\[\begin{array}{cc}
dx=\frac{\partial T_1}{\partial x'} dx'+ \frac{\partial T_1}{\partial y'}dy',&dy=\frac{\partial T_2}{\partial x'} dx'+ \frac{\partial T_2}{\partial y'}dy'.
\end{array}\]
Il risultato di questa operazione (nota in geometria come pull-back della forma differenziale \(\omega\)) è una forma differenziale sul cerchio \(C\). Possibilmente la sua espressione analitica sarà complicata, ma sicuramente sarà una forma chiusa, e quindi esatta su \(C\). Inoltre questo dominio è particolarmente simmetrico e quindi sperabilmente si può procedere con l'integrazione esplicita. Fatto questo si può ritornare alle variabili \((x, y)\) e avere una primitiva per \(\omega\).
Poi possibilmente c'è una maniera di integrare \(\omega\) direttamente sul dominio sciancato, ma io non la conosco.
Grazie!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo