Potenziale del campo
Non mi torna assolutamente il risultato del potenziale del campo $F=(sqrt3/(sqrt3+x)^2,1/3e^y+x/(sqrt3+x))$
A me viene $U(x,y)=1/3e^y+x/(sqrt3+x)y+k$ integrando prima su y e poi su x
mentre nel risultato che ho viene fuori $U(x,y)=-sqrt3/(sqrt3+x)y+1/3e^y+y+c$ dove integra prima in x e poi in y.
So che non cambia niente l'ordine con cui integro, quindi sarebbe dovuto venire lo stesso risultato.
Quale dei due è sbagliato?
A me viene $U(x,y)=1/3e^y+x/(sqrt3+x)y+k$ integrando prima su y e poi su x
mentre nel risultato che ho viene fuori $U(x,y)=-sqrt3/(sqrt3+x)y+1/3e^y+y+c$ dove integra prima in x e poi in y.
So che non cambia niente l'ordine con cui integro, quindi sarebbe dovuto venire lo stesso risultato.
Quale dei due è sbagliato?
Risposte
Per prima cosa, suppongo tu abbia dimenticato una $y$ nella prima componente, giusto? In ogni caso la tua soluzione e quella data coincidono: basta sommare i due termini in cui appare la $y$ nella soluzione che ti è stata fornita.
Mi sono dimenticato una $y$?
In $1/3e^y$ dici?
Io ho fatto $U(x,y)=\int1/3e^y+x/(sqrt3+x)dy=1/3e^y+x/(sqrt3+x)y+c(x)$
poi questo l'ho derivato in x: $(sqrt3y)/(sqrt3+x)^2+c'(x)=(sqrt3y)/(sqrt3+x)^2 => c(x)=k$
Mi sono perso qualcosa da qualche parte?
In $1/3e^y$ dici?
Io ho fatto $U(x,y)=\int1/3e^y+x/(sqrt3+x)dy=1/3e^y+x/(sqrt3+x)y+c(x)$
poi questo l'ho derivato in x: $(sqrt3y)/(sqrt3+x)^2+c'(x)=(sqrt3y)/(sqrt3+x)^2 => c(x)=k$
Mi sono perso qualcosa da qualche parte?
No, hai scritto male il campo: quello corretto è questo:
$$F=\left(\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+x)^2} y,\ \frac{e^y}{3}+\frac{x}{\sqrt{3}+x}\right)$$
In questo modo $F$ risulta conservativo, perché per come lo hai scritto sopra non era neanche quello.
Il potenziale che hai calcolato è giusto ed è uguale al risultato che ti viene fornito: infatti:
$$\frac{x}{\sqrt{3}+x} y=\frac{x+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+x} y=y-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+x} y$$
P.S.: ho scritto "hai dimenticato una $y$ nella prima componente". Lo sai cos'è una componente di un campo? Come ti viene in mente che io parlassi dell'esponenziale? Accendere il cervello e cercare di interpretare attentamente quello che si legge (e anche le cose che scrive un libro, compresi i risultati degli esercizi) non è un'attività "tanto per" da fare quando si affronta la matematica, sai? Scusa il tono, ma sinceramente vedere tali tipologie di quesiti mi fa, spesso, porre delle domande sulla bontà dello studio di uno studente e sull'attenzione che ci pone. Non è un rimprovero: vuole essere una critica costruttiva. Per cui se la prendi come tale, bene. Altrimenti non so come aiutarti!
$$F=\left(\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+x)^2} y,\ \frac{e^y}{3}+\frac{x}{\sqrt{3}+x}\right)$$
In questo modo $F$ risulta conservativo, perché per come lo hai scritto sopra non era neanche quello.
Il potenziale che hai calcolato è giusto ed è uguale al risultato che ti viene fornito: infatti:
$$\frac{x}{\sqrt{3}+x} y=\frac{x+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+x} y=y-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+x} y$$
P.S.: ho scritto "hai dimenticato una $y$ nella prima componente". Lo sai cos'è una componente di un campo? Come ti viene in mente che io parlassi dell'esponenziale? Accendere il cervello e cercare di interpretare attentamente quello che si legge (e anche le cose che scrive un libro, compresi i risultati degli esercizi) non è un'attività "tanto per" da fare quando si affronta la matematica, sai? Scusa il tono, ma sinceramente vedere tali tipologie di quesiti mi fa, spesso, porre delle domande sulla bontà dello studio di uno studente e sull'attenzione che ci pone. Non è un rimprovero: vuole essere una critica costruttiva. Per cui se la prendi come tale, bene. Altrimenti non so come aiutarti!
Ah porca vacca hai ragione!
Si, scusa, hai ragione, pensavo ti riferissi al primo pezzo del potenziale e non alla prima componente del campo.
My fault.
Grazie mille di tutto!
Si, scusa, hai ragione, pensavo ti riferissi al primo pezzo del potenziale e non alla prima componente del campo.
My fault.
Grazie mille di tutto!
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