Potenziale con condizioni
Ciao a tutti, in un testo di esame veniva chiesto:
Stabilire se esiste un potenziale del campo vettoriale $F=(y^2/(x+y)^2;x^2/(x+y)^2)$ tale che $U(1,1)=U(4,2)$
$f(x,y)=y^2/(x+y)^2$ e $g(x,y)=x^2/(x+y)^2$. Risulta $ (partial f(x,y))/(partial y)=(partial g(x,y))/(partial x) $
Il campo vettoriale non è conservativo in $R^2$ in quanto non è semplicemente connesso nel suo dominio $A={(x,y)inR^2:y!=-x}$
Risulta invece conservativo e quindi ammette potenziale nei due sottoinsiemi di $A$:
-$A_1={(x,y)inR^2:y> -x}$
-$A_2={(x,y)inR^2:y<-x}$
Calcolo quindi il potenziale ad esempio in $A_1$
$ U_x=int y^2/(x+y)^2dx=-y^2/(x+y)+c(y) $
Devo imporre che $(partial U_x)/(partial y) =g(x,y)$ e da questa risulta che $c'(y)=1rArrc(y)=k$
Il generico potenziale risulta essere
$ U(x,y)={ (-y^2/(x+y)+k_1[(x,y)inA_1]),( -y^2/(x+y)+k_2[(x,y)inA_2]):} $
Come faccio però a trovare il potenziale specifico che soddisfa quella condizione?
Stabilire se esiste un potenziale del campo vettoriale $F=(y^2/(x+y)^2;x^2/(x+y)^2)$ tale che $U(1,1)=U(4,2)$
$f(x,y)=y^2/(x+y)^2$ e $g(x,y)=x^2/(x+y)^2$. Risulta $ (partial f(x,y))/(partial y)=(partial g(x,y))/(partial x) $
Il campo vettoriale non è conservativo in $R^2$ in quanto non è semplicemente connesso nel suo dominio $A={(x,y)inR^2:y!=-x}$
Risulta invece conservativo e quindi ammette potenziale nei due sottoinsiemi di $A$:
-$A_1={(x,y)inR^2:y> -x}$
-$A_2={(x,y)inR^2:y<-x}$
Calcolo quindi il potenziale ad esempio in $A_1$
$ U_x=int y^2/(x+y)^2dx=-y^2/(x+y)+c(y) $
Devo imporre che $(partial U_x)/(partial y) =g(x,y)$ e da questa risulta che $c'(y)=1rArrc(y)=k$
Il generico potenziale risulta essere
$ U(x,y)={ (-y^2/(x+y)+k_1[(x,y)inA_1]),( -y^2/(x+y)+k_2[(x,y)inA_2]):} $
Come faccio però a trovare il potenziale specifico che soddisfa quella condizione?
Risposte
Ciao, guarda è molto semplice, devi scrivere diversamente il potenziale. Tu hai trovato correttamente che $ U(x,y)={ (-y^2/(x+y)+k_1[(x,y)inA_1]),( -y^2/(x+y)+k_2[(x,y)inA_2]):} $ è la forma di tutti i potenziali definiti su A, però separatamente sui due pezzi di A definiti prima. Però ciascuno dei due pezzi è definito su tutto A (sono uguali a meno della costante), quindi non è difficile vedere che la scrittura $U(x,y)=-y^2/(x+y)+k$ è equivalente alla tua, con k costante arbitraria. Sapendo questo, imponi la condizione di problema di Cauchy data dal testo e trovi k.
Probabilmente, come accade spesso, hai pensato che se A non è semplicemente connesso allora non c'è un potenziale unico su tutto A. La semplice connessione di A (unita alla chiusura della forma differenziale) è una condizione solo sufficiente, non necessaria: può benissimo esserci un potenziale definito su un A non semplicemente connesso, solo che dovrai trovarlo in altro modo, ad esempio integrando su "pezzi" di A. Se poi ti va bene, come in questo caso, allora il potenziale definito sui pezzi è in realtà definito su tutto il dominio di partenza, ed allora sei felice
.
Probabilmente, come accade spesso, hai pensato che se A non è semplicemente connesso allora non c'è un potenziale unico su tutto A. La semplice connessione di A (unita alla chiusura della forma differenziale) è una condizione solo sufficiente, non necessaria: può benissimo esserci un potenziale definito su un A non semplicemente connesso, solo che dovrai trovarlo in altro modo, ad esempio integrando su "pezzi" di A. Se poi ti va bene, come in questo caso, allora il potenziale definito sui pezzi è in realtà definito su tutto il dominio di partenza, ed allora sei felice
.
Ciao Poll89, intanto grazie mille per la risposta. In realtà sapevo già che si trattava di una condizione sufficiente e non necessaria. Il punto è proprio porre le condizioni. Mi spiego meglio.
Se avessi dovuto trovare, per esempio, il potenziale tale per cui $U(1,1) =1$ si otteneva facilmente che $-1/2+k =1$ se e solo se $k=3/2$ e quindi il potenziale cercato risulterebbe $U(x,y)=-y^2/(x+y)+3/2$. Ma se io ho le condizioni poste così come ottengo $k$?
$U(1,1)=-1/2+k$
$U(4,2)=-2/3+k$
E poi? Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua però non capisco.
Se avessi dovuto trovare, per esempio, il potenziale tale per cui $U(1,1) =1$ si otteneva facilmente che $-1/2+k =1$ se e solo se $k=3/2$ e quindi il potenziale cercato risulterebbe $U(x,y)=-y^2/(x+y)+3/2$. Ma se io ho le condizioni poste così come ottengo $k$?
$U(1,1)=-1/2+k$
$U(4,2)=-2/3+k$
E poi? Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua però non capisco.
Ma ragazzi non occorre calcolare esplicitamente il potenziale. Il testo chiede: "stabilire *se esiste* un potenziale tale che ..." Assumiamo che esso esista. Cosa succede all'integrale di linea
\[
\int_{(1, 1)}^{(4, 2)}\vec{F}\cdot d\vec{s}\ ?\]
(Si intende che l'integrale è preso su una qualsiasi curva congiungente i due estremi, per esempio -hint, hint- un segmento).
\[
\int_{(1, 1)}^{(4, 2)}\vec{F}\cdot d\vec{s}\ ?\]
(Si intende che l'integrale è preso su una qualsiasi curva congiungente i due estremi, per esempio -hint, hint- un segmento).
Forse ho capito. Se il campo ammette potenziale allora
\( \int_{(1,1)}^{(4,2)}\overrightarrow{F}\ \overrightarrow{dS} = U(4,2)-U(1,1) = 0 \)
Quindi devo semplicemente risolvere l'integrale del prodotto scalare e porlo uguale a zero?
\( \int_{(1,1)}^{(4,2)}\overrightarrow{F}\ \overrightarrow{dS} = U(4,2)-U(1,1) = 0 \)
Quindi devo semplicemente risolvere l'integrale del prodotto scalare e porlo uguale a zero?
"Duj91":
Forse ho capito. Se il campo ammette potenziale allora
\( \int_{(1,1)}^{(4,2)}\overrightarrow{F}\ \overrightarrow{dS} = U(4,2)-U(1,1) = 0 \)
Quindi devo semplicemente risolvere l'integrale del prodotto scalare e porlo uguale a zero?
Si. Ma esprimiti bene! Non devi "porre" proprio niente. Devi *calcolare* l'integrale di linea del campo e *verificare* se fa zero oppure no. Se non fa zero, fine: un potenziale con quelle caratteristiche non esiste. Se fa zero, allora un potenziale con quelle caratteristiche *potrebbe* esistere.
Solo in quest'ultimo caso dovrai continuare a lavorare per vedere se un potenziale esiste o no.
Si scusami sono stato un po frettoloso nel rispondere. Comunque io ho parametrizzato il segmento e calcolato l'integrale di linea.
$gamma (t)=(1+3t,1+t)$ con $tin[0,1]$
$ int_(0)^(1)(12t^2+12t+4)/(2+4t)^2=5/6$
Quindi non esiste potenziale che soddisfi quelle condizioni. Se fosse venuto $0$ come avrei dovuto procedere?
$gamma (t)=(1+3t,1+t)$ con $tin[0,1]$
$ int_(0)^(1)(12t^2+12t+4)/(2+4t)^2=5/6$
Quindi non esiste potenziale che soddisfi quelle condizioni. Se fosse venuto $0$ come avrei dovuto procedere?
Esatto. Nota che potevi anche risparmiarti il calcolo esplicito (ma hai fatto bene a farlo, per esercitarti). Infatti è evidente che la funzione integranda è strettamente positiva e dunque l'integrale non si può annullare.
Se avessi trovato zero, avresti avuto ancora un ostacolo all'esistenza di un potenziale con le condizioni richieste: la forma differenziale avrebbe potuto non essere esatta. Ma come hai dimostrato più su la forma è chiusa e dunque è certamente esatta nel semipiano $\{x+y>0\}$ che contiene i due punti assegnati. E quindi, avresti potuto concludere che un tale potenziale esiste, senza necessariamente calcolarlo.
Se avessi trovato zero, avresti avuto ancora un ostacolo all'esistenza di un potenziale con le condizioni richieste: la forma differenziale avrebbe potuto non essere esatta. Ma come hai dimostrato più su la forma è chiusa e dunque è certamente esatta nel semipiano $\{x+y>0\}$ che contiene i due punti assegnati. E quindi, avresti potuto concludere che un tale potenziale esiste, senza necessariamente calcolarlo.
Ok ho capito! Grazie mille dissonance, sei stato gentilissimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo