Potenze numeri complessi

[ferra031]

Ragazzi potreste indirizzarmi sulla soluzione di questo esercizio? $i*(z^3) = 8$. Per ora io l'ho trasformato in $z^3 = 8/i$, come potrei continuare?

Grazie

[poncelet]

Forse è più comodo notare che $1/i=-i$ e trasformare la tua equazione in $z^{3}=-8i$.

[ferra031]

Grazie hai perfettamente ragione, ora io ho calcolato $\ro$ in questo modo $sqrt(a^2 + b^2) = 64$ poi ho calcolato il coseno e il seno di $(\theta)$ rispettivamente con $a/(\rho)$ e $b/(\rho)$ che sono 0 e -1. Poi ho applicato la formula delle potenze dei numeri complessi e ho ottenuto $512(cos(3*(\theta)) + i*sin(3*(\theta)))$. Fino a qui è corretto?

[poncelet]

Non ho capito molto bene che cosa stai facendo. Tu hai che $z^{3}=\rho^{3}e^{3\theta i}=8e^{(-\pi/2+2k\pi)i}$. Quindi $\rho^{3}=8 \implies \rho=2$. Adesso ti calcoli l'argomento con la formula per le radici di un numero complesso.

[ferra031]

Io ho trovato una soluzione, $z = 2(cos((\pi)/2) + i*sin((\pi)/2))$, non capisco come trovare le altre

[poncelet]

Come ti ho scritto prima la tua equazione è:
\[
\rho^{3}e^{3\theta i}=8e^{(-\frac{\pi}{2}+2k\pi)i}
\]

Quindi
\[
\rho=2
\]
e
\[
\theta_k=-\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi \qquad k=0,1,2
\]

[ferra031]

Grazie mille!