Potenze e radici di numeri complessi
Salve ragazzi
vi posto due esercizi :
1) $|z|^4=3i$ per questo esercizio ho pensato di calcolare le radici quarte e quindi applicando la regola ottengo :
$rho=3$ ; $theta=pi/2$ da cui $3^(1/4)*(cos((pi/2+2Kpi)/4)+i*sen((pi/2+2Kpi)/4))$
ora per $k=o$ ottengo $3^(1/4)*(cos(pi/8)+i*sen(pi/8))$
per i valori $K=1$ , $k=2$ , $K=3$ , ottengo rispettivamente gli angoli $5pi/8$ , $9pi/8$ , $13pi/8$
il mio problema era come completare l'esercizio cioè come determino $sen$ e $cos$ di quegli angoli ?
2 ) $z=(1+sqrt3*i)^(-9)$
calcolati $rho=2$ e $theta=pi/3$ ottango $rho^(-9)*(cos(-3pi)+i*sen(-3pi))$
e qui ho più o meno lo stesso problema, avevo pensato di determinare il $sen(-3pi)=0$ e $cos(-3pi)=-1$ corretto ?
Grazie
vi posto due esercizi :
1) $|z|^4=3i$ per questo esercizio ho pensato di calcolare le radici quarte e quindi applicando la regola ottengo :
$rho=3$ ; $theta=pi/2$ da cui $3^(1/4)*(cos((pi/2+2Kpi)/4)+i*sen((pi/2+2Kpi)/4))$
ora per $k=o$ ottengo $3^(1/4)*(cos(pi/8)+i*sen(pi/8))$
per i valori $K=1$ , $k=2$ , $K=3$ , ottengo rispettivamente gli angoli $5pi/8$ , $9pi/8$ , $13pi/8$
il mio problema era come completare l'esercizio cioè come determino $sen$ e $cos$ di quegli angoli ?
2 ) $z=(1+sqrt3*i)^(-9)$
calcolati $rho=2$ e $theta=pi/3$ ottango $rho^(-9)*(cos(-3pi)+i*sen(-3pi))$
e qui ho più o meno lo stesso problema, avevo pensato di determinare il $sen(-3pi)=0$ e $cos(-3pi)=-1$ corretto ?
Grazie
Risposte
nessuno ha provato a dargli un occhiata ?
Sei sicura della prima traccia? Un modulo pari ad una quantità immaginaria???
"K.Lomax":
Sei sicura della prima traccia? Un modulo pari ad una quantità immaginaria???
scusa ho corretto
"K.Lomax":
Sei sicura della prima traccia? Un modulo pari ad una quantità immaginaria???
E' la stessa cosa che ho pensato appena ho letto. Non dovrebbe esistere soluzione per $|z|^4 = 3 i $, perché il modulo è un numero reale. Elevato alla 4 rimane sempre un numero reale. Ricontrolla l'esercizio
"mgiaff":
[quote="K.Lomax"]Sei sicura della prima traccia? Un modulo pari ad una quantità immaginaria???
E' la stessa cosa che ho pensato appena ho letto. Non dovrebbe esistere soluzione per $|z|^4 = 3 i $, perché il modulo è un numero reale. Elevato alla 4 rimane sempre un numero reale. Ricontrolla l'esercizio[/quote]
No la traccia è prorpio così e non è l'unico esercizio di questo tipo ce ne sono molti altri....
Beh allora puoi scrivere che questo non ha soluzione, e puoi usare ben due strade per vederlo:
[list=1]
[*:2v5q7ufx]Utilizzo la forma esponenziale che è la più comoda in questo caso:
$| \rho e^( i ( \theta + 2 k \pi ) ) |^4 = 3 i$
A questo punto estraiamo subito il modulo:
$ \rho ^4 = 3 i $
Questa è un'operazione che stai tentando di fare in $RR$, perché la tua variabile ($\rho$) è una variabile reale. Quindi è impossibile che elevata alla 4 mi dia un numero complesso.
[/*:m:2v5q7ufx]
[*:2v5q7ufx]Alternativamente, puoi estrarre la radice quarta di $3i$ e vedere che nessuno dei 4 risultati è un numero reale (e quindi nessuno dei 4 risultati può essere un modulo).
$ \rho = 3i^(1/4) $
$3i$ in forma esponenziale diventa $3 e^( i ( \pi / 2 + 2 k \pi ))$.
Ora estraiamo la radice quarta:
$3i^(1/4) = 3^(1/4) e^( i ( \pi / 8 + k \pi / 2 ))$
Ottieni 4 valori, nessuno dei quali ha $ \theta = 0$. Quindi nessuno di questi valori è reale, e quindi nessuno di essi può essere assunto da $ \rho $.[/*:m:2v5q7ufx][/list:o:2v5q7ufx]
L'altro esercizio è corretto. La forma algebrica dovrebbe risultare: $z = - 2^(- 9)$ (ovvero un numero reale)
[list=1]
[*:2v5q7ufx]Utilizzo la forma esponenziale che è la più comoda in questo caso:
$| \rho e^( i ( \theta + 2 k \pi ) ) |^4 = 3 i$
A questo punto estraiamo subito il modulo:
$ \rho ^4 = 3 i $
Questa è un'operazione che stai tentando di fare in $RR$, perché la tua variabile ($\rho$) è una variabile reale. Quindi è impossibile che elevata alla 4 mi dia un numero complesso.
[/*:m:2v5q7ufx]
[*:2v5q7ufx]Alternativamente, puoi estrarre la radice quarta di $3i$ e vedere che nessuno dei 4 risultati è un numero reale (e quindi nessuno dei 4 risultati può essere un modulo).
$ \rho = 3i^(1/4) $
$3i$ in forma esponenziale diventa $3 e^( i ( \pi / 2 + 2 k \pi ))$.
Ora estraiamo la radice quarta:
$3i^(1/4) = 3^(1/4) e^( i ( \pi / 8 + k \pi / 2 ))$
Ottieni 4 valori, nessuno dei quali ha $ \theta = 0$. Quindi nessuno di questi valori è reale, e quindi nessuno di essi può essere assunto da $ \rho $.[/*:m:2v5q7ufx][/list:o:2v5q7ufx]
L'altro esercizio è corretto. La forma algebrica dovrebbe risultare: $z = - 2^(- 9)$ (ovvero un numero reale)
"mgiaff":
Beh allora puoi scrivere che questo non ha soluzione, e puoi usare ben due strade per vederlo:
e se non ci fosse il $|z|$ ma semplicemente $z^4=3i$ si risolverebbe come ho fatto io ?
Sì, senza il modulo sarebbe stato corretto ^^
"mgiaff":
Sì, senza il modulo sarebbe stato corretto ^^
e come risolvevo in quegli angoli ?
anche in altri esercizi mi escono angoli per i quali non conosco i valori di seno e coseno.
Tipo $5/12pi$ come mi comporto ?
In generale, si lascia semplicemente la scrittura con il seno o il coseno.
Se è espressamente richiesto, puoi cercare di calcolare un valore approssimato tramite gli sviluppi in serie di Taylor. In alternativa, se non vuoi approssimare ma ottenere valori precisi, puoi cercare di giocare con le formule riguardanti il seno e il coseno.
Ad esempio, se volessi calcolare il valore di $sin( 5 / 12 \pi )$ potresti fare così (non è l'unico modo):
Per le formule degli angoli associati:
$sin( 5 / 12 \pi ) = sin( 6 / 12 \pi - \pi / 12 ) = sin( \pi / 2 - \pi / 12 ) = cos( \pi / 12 )$
Per le formule di bisezione:
$cos( \pi / 12 ) = cos( ( \pi / 6 ) / 2 ) = pm ( (1 + cos( \pi / 6 ) ) / 2 )^(1/2) = pm ( (1 + sqrt(3) / 2 ) / 2 )^(1/2) = pm ( (2 + sqrt(3) ) / 4 )^(1/2) = pm ( 2 + sqrt(3) )^(1/2) / 2 $
Chiaramente, dal grafico del seno puoi dedurre che il valore dovrà essere positivo, e quindi (in definitiva) abbiamo:
$ sin( 5 / 12 \pi ) = ( 2 + sqrt(3) )^(1/2) / 2 $
Se è espressamente richiesto, puoi cercare di calcolare un valore approssimato tramite gli sviluppi in serie di Taylor. In alternativa, se non vuoi approssimare ma ottenere valori precisi, puoi cercare di giocare con le formule riguardanti il seno e il coseno.
Ad esempio, se volessi calcolare il valore di $sin( 5 / 12 \pi )$ potresti fare così (non è l'unico modo):
Per le formule degli angoli associati:
$sin( 5 / 12 \pi ) = sin( 6 / 12 \pi - \pi / 12 ) = sin( \pi / 2 - \pi / 12 ) = cos( \pi / 12 )$
Per le formule di bisezione:
$cos( \pi / 12 ) = cos( ( \pi / 6 ) / 2 ) = pm ( (1 + cos( \pi / 6 ) ) / 2 )^(1/2) = pm ( (1 + sqrt(3) / 2 ) / 2 )^(1/2) = pm ( (2 + sqrt(3) ) / 4 )^(1/2) = pm ( 2 + sqrt(3) )^(1/2) / 2 $
Chiaramente, dal grafico del seno puoi dedurre che il valore dovrà essere positivo, e quindi (in definitiva) abbiamo:
$ sin( 5 / 12 \pi ) = ( 2 + sqrt(3) )^(1/2) / 2 $
Puoi utilizzare direttamente queste formule (che vengono fuori banalmente dalla formula di duplicazione del coseno):
[tex]\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}[/tex]
[tex]\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}[/tex]
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