Potenze di numero cpmplesso
Salve a tutti, avrei bisogno di un metodo per calcolare a potenza di un numero complesso del tipo $(a+ib)^n$. Grazie di cuore per l'aiuto
Risposte
Grazie, qualche esempio?
$(1-i)^1987 , (2+3i)^51$ ....
$(1-i)^1987 , (2+3i)^51$ ....
Se \( a+ib = \rho e^{i \theta} \), allora evidentemente
\[ (a+ib)^{n} = \rho^{n} e^{in \theta} = \rho^{n} \big ( \cos(n \theta) + i \sin(n \theta) \big ). \]
Così, dato che \( 1-i = \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}} \)...
\[ (a+ib)^{n} = \rho^{n} e^{in \theta} = \rho^{n} \big ( \cos(n \theta) + i \sin(n \theta) \big ). \]
Così, dato che \( 1-i = \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}} \)...
GRAZIE!
dico solo all'utente "ricca", le differenti scritture di un numero complesso
Un numero complesso $z$ si può rappresentare in forma cartesiana, algebrica, trigonometrica ed esponenziale
$z=(a,b)$ forma cartesiana
$z=a+ib$ forma algebrica
$z=\rho (\cos\theta+i \sin\theta)$ forma trigonometrica
$z=\rho e^(i \theta)$ forma esponenziale
NOTAZIONE: si può usare la notazione $z=a+ib$ oppure $z=x+iy$ . È eguale.
Un numero complesso $z$ si può rappresentare in forma cartesiana, algebrica, trigonometrica ed esponenziale
$z=(a,b)$ forma cartesiana
$z=a+ib$ forma algebrica
$z=\rho (\cos\theta+i \sin\theta)$ forma trigonometrica
$z=\rho e^(i \theta)$ forma esponenziale
NOTAZIONE: si può usare la notazione $z=a+ib$ oppure $z=x+iy$ . È eguale.
"21zuclo":
$z=\rho (\cos\theta+i \sin\theta)$ forma trigonometrica
$z=\rho e^(i \theta)$ forma esponenziale
NOTAZIONE: si può usare la notazione $z=a+ib$ oppure $z=x+iy$ . È eguale.
Piccola nota stupida stupida: in alcuni corsi non si distingue differenza tra forma esponenziale e trigonometrica in quanto
$e^(i\theta) = cos(\theta) + i sin(\theta)$.
[Se non hai visto ancora questa equivalenza, detta "formula di Eulero", fingiti sorpreso/a quando lo vedrai
]Altra piccola nota: quando si inizia ad andare in là con l'analisi complessa, si trovano molte altre notazioni piuttosto creative tra cui $s=\sigma +it$
"Zero87":
[quote="21zuclo"]$z=\rho (\cos\theta+i \sin\theta)$ forma trigonometrica
$z=\rho e^(i \theta)$ forma esponenziale
NOTAZIONE: si può usare la notazione $z=a+ib$ oppure $z=x+iy$ . È eguale.
Piccola nota stupida stupida: in alcuni corsi non si distingue differenza tra forma esponenziale e trigonometrica in quanto
$e^(i\theta) = cos(\theta) + i sin(\theta)$.
[Se non hai visto ancora questa equivalenza, detta "formula di Eulero", fingiti sorpreso/a quando lo vedrai
]Altra piccola nota: quando si inizia ad andare in là con l'analisi complessa, si trovano molte altre notazioni piuttosto creative tra cui $s=\sigma +it$
[/quote]@Zero87
sì lo sapevo che quella notazione è chiamata formula di Eulero $e^(i\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$.
Me l'avevano detto a lezione.
In più a lezione il professore ci aveva solo fatto vedere (senza averlo dimostrato) queste due scritture
$\sin \theta=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2 i)$
$\cos \theta=(e^(i\theta)+e^(-i\theta))/(2)$
dove ci aveva detto che anche queste 3 formule sono dette formule di Eulero
"21zuclo":
In più a lezione il professore ci aveva solo fatto vedere (senza averlo dimostrato) queste due scritture
$\sin \theta=(e^(i\theta)-e^(-i\theta))/(2 i)$
$\cos \theta=(e^(i\theta)+e^(-i\theta))/(2)$
dove ci aveva detto che anche queste 3 formule sono dette formule di Eulero
Sì, se non ricordo male si ricavano dalla formula di Eulero risolvendo il sistema
${(e^(i\theta) = cos(\theta) + i sin(\theta)),(e^(-i\theta) = cos(\theta) -i \sin(\theta)):}$
... e molto spesso sono chiamate anch'esse "formule di Eulero".
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo