Potenze Con Esponente Razionale
ciao a tutti,
mi vergogno a confessarlo (sono al primo anno di ingegneria...
) ma ho ancora dubbi atroci con le potenze, ed in particolare con quelle ad esponente razionale.
dunque le fonti da cui ho attinto finora sono:
1) http://www.batmath.it/studenti/appunti/potenze.pdf
2) Bramanti, PreCalculus
secondo la fonte 1), $x^(m/n)$ è definito per $x >= 0$ se $m/n$ è un razionale non intero positivo, mentre solo per $x > 0$ se $m/n$ è un razionale non intero negativo.
secondo la fonte 2), $x^(m/n)$ corrisponde strettamente alla radice $n$-esima di $x^m$, e quindi le condizioni su $x$ si trovano facendo riferimento alla "versione" con le radici, cioè:
* se $m$ pari, definita su $RR$
* se $m$ dispari ed $n$ dispari, definita su $RR$
* se $m$ dispari ed $n$ pari, $x >= 0$
oltre a questa enorme discrepanza quanto al dominio, ho notato un'altra differenza.
secondo la fonte 1) potenze quali $x^(2/4)$ e $x^(1/2)$ sono esattamente la stessa potenza. secondo la fonte 2), invece, si tratta di potenze diverse, in quanto la prima corrisponde alla radice di indice 4 di $x^2$ (definita in $RR$), mentre la seconda alla radice quadrata di $x$ (definita per $x>=0$).
sembra quasi che la 1) definisca le potenze che hanno come esponente un numero razionale, mentre la 2) le potenze che hanno come esponente una frazione.
con entrambi i metodi posso comunque trovare l'errore in questa catena di "uguaglianze":
$-2$ = radicecubica(-8) = $(-8)^{1/3}$ = $(-8)^{2/6}$ = radice_6(64) = $+2$
in quanto per la fonte 1) il simbolo $(-8)^{1/3}$ non è definito, mentre per la fonte 2) $(-8)^{2/6}$ è diverso da $(-8)^{1/3}$, perchè in generale si ha che $x^{{2m}/{2n}} = |x|^{m/n}$.
in definitiva, qual è la versione corretta? vi prego aiutatemi perchè è davvero indecente che abbia ancora questi dubbi al primo anno di ingegneria... grazie.
mi vergogno a confessarlo (sono al primo anno di ingegneria...
) ma ho ancora dubbi atroci con le potenze, ed in particolare con quelle ad esponente razionale.dunque le fonti da cui ho attinto finora sono:
1) http://www.batmath.it/studenti/appunti/potenze.pdf
2) Bramanti, PreCalculus
secondo la fonte 1), $x^(m/n)$ è definito per $x >= 0$ se $m/n$ è un razionale non intero positivo, mentre solo per $x > 0$ se $m/n$ è un razionale non intero negativo.
secondo la fonte 2), $x^(m/n)$ corrisponde strettamente alla radice $n$-esima di $x^m$, e quindi le condizioni su $x$ si trovano facendo riferimento alla "versione" con le radici, cioè:
* se $m$ pari, definita su $RR$
* se $m$ dispari ed $n$ dispari, definita su $RR$
* se $m$ dispari ed $n$ pari, $x >= 0$
oltre a questa enorme discrepanza quanto al dominio, ho notato un'altra differenza.
secondo la fonte 1) potenze quali $x^(2/4)$ e $x^(1/2)$ sono esattamente la stessa potenza. secondo la fonte 2), invece, si tratta di potenze diverse, in quanto la prima corrisponde alla radice di indice 4 di $x^2$ (definita in $RR$), mentre la seconda alla radice quadrata di $x$ (definita per $x>=0$).
sembra quasi che la 1) definisca le potenze che hanno come esponente un numero razionale, mentre la 2) le potenze che hanno come esponente una frazione.
con entrambi i metodi posso comunque trovare l'errore in questa catena di "uguaglianze":
$-2$ = radicecubica(-8) = $(-8)^{1/3}$ = $(-8)^{2/6}$ = radice_6(64) = $+2$
in quanto per la fonte 1) il simbolo $(-8)^{1/3}$ non è definito, mentre per la fonte 2) $(-8)^{2/6}$ è diverso da $(-8)^{1/3}$, perchè in generale si ha che $x^{{2m}/{2n}} = |x|^{m/n}$.
in definitiva, qual è la versione corretta? vi prego aiutatemi perchè è davvero indecente che abbia ancora questi dubbi al primo anno di ingegneria... grazie.
Risposte
"fctk":
In quanto per la fonte 1) il simbolo $(-8)^{1/3}$ non è definito, mentre per la fonte 2) $(-8)^{2/6}$ è diverso da $(-8)^{1/3}$, perchè in generale si ha che $x^{{2m}/{2n}} = |x|^{m/n}$.
A pagina 7 della prima fonte penso sia esplicitato bene!
quindi allora il Bramanti ha torto?
Il primo punto e' piuttosto ovvio, poiche' se l'esponente e' negativo, la x va a denominatore, pertanto deve essere diverso da 0.
Non e' che il primo definisca la funzione a^x e il secondo l'operazione a^x?
Non e' che il primo definisca la funzione a^x e il secondo l'operazione a^x?
"cheguevilla":
Non e' che il primo definisca la funzione a^x e il secondo l'operazione a^x?
scusa ma che differenza ci sarebbe??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo