Potenza di una funzione Lipschitziana
Ciao a tutti,
vorrei chiedere il vostro parere sul seguente esercizio:
Sia $h$ una funzione Lipschitziana definita in un compatto $A\subset \mathbb R$, a valori in $\mathbb R^+$. Discutere al variare di $\alpha \in\mathbb R$ la lipschitzianità della funzione $h^{\alpha}$.
Ora, se la funzione $h$ fosse anche derivabile, non ci sarebbero problemi in quanto userei la condizione necessaria e sufficiente relativa alla limitatezza della derivata. Tuttavia, non avendo informazioni a tal proposito, ho provato con la definizione ma non sono molto convinta di quanto ottenuto. Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie in anticipo!
vorrei chiedere il vostro parere sul seguente esercizio:
Sia $h$ una funzione Lipschitziana definita in un compatto $A\subset \mathbb R$, a valori in $\mathbb R^+$. Discutere al variare di $\alpha \in\mathbb R$ la lipschitzianità della funzione $h^{\alpha}$.
Ora, se la funzione $h$ fosse anche derivabile, non ci sarebbero problemi in quanto userei la condizione necessaria e sufficiente relativa alla limitatezza della derivata. Tuttavia, non avendo informazioni a tal proposito, ho provato con la definizione ma non sono molto convinta di quanto ottenuto. Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie in anticipo!
Risposte
Per trattare il caso $alpha in "]0,1["$ mi pare possa essere utile il fatto che $"|a"^{alpha}"-b"^{alpha}"|" le"|a-b|"^{alpha} forall "a,b" in"[0,+"oo"[,"alpha in "]0,1["$
(che mi pare importabile,indipendentemente dalla mutua posizione degli arbitrari $"a e b"$ sulla semiretta dei reali non negativi,dall'aversi $"sup"_{"t"in"]1,+"oo"["}{"t"^{alpha}"-1"}/{"(t-1)"^{alpha}}"=1 "forall alpha in "]0,1["$,agevolmente dimostrabile con uno studio di funzioncina):
per gli altri casi,ad occhio,proverei ad usare pure il teorema di Weierstrass(che altrimenti non avremmo che farcene dell'ipotesi di compattezza del dominio..)e/o andare a caccia di controesempi.
Saluti dal web.
(che mi pare importabile,indipendentemente dalla mutua posizione degli arbitrari $"a e b"$ sulla semiretta dei reali non negativi,dall'aversi $"sup"_{"t"in"]1,+"oo"["}{"t"^{alpha}"-1"}/{"(t-1)"^{alpha}}"=1 "forall alpha in "]0,1["$,agevolmente dimostrabile con uno studio di funzioncina):
per gli altri casi,ad occhio,proverei ad usare pure il teorema di Weierstrass(che altrimenti non avremmo che farcene dell'ipotesi di compattezza del dominio..)e/o andare a caccia di controesempi.
Saluti dal web.
Se \(\alpha < 1\) in generale \(h^\alpha\) non è Lipschitziana, come puoi constatare considerando \(h(x) = x\), \(x \in [0,1]\).
Nel caso \(\alpha \geq 1\), sia \(M := \max |h|\) (che esiste finito per il teorema di Weierstrass).
Hai che
\[
|h(x)^\alpha - h(y)^\alpha| \leq \alpha\, M^{\alpha -1} |h(x) - h(y)|
\]
da cui puoi dedurre la Lipschitzianità di \(h^\alpha\).
Nel caso \(\alpha \geq 1\), sia \(M := \max |h|\) (che esiste finito per il teorema di Weierstrass).
Hai che
\[
|h(x)^\alpha - h(y)^\alpha| \leq \alpha\, M^{\alpha -1} |h(x) - h(y)|
\]
da cui puoi dedurre la Lipschitzianità di \(h^\alpha\).
@Rigel.
Azz,vero:
ed infatti,presa carta e penna,la disuguaglianza da me suggerita,pur vera,non è utile perchè ad un certo punto s'interrompe la concordanza dei versi nelle stima cui volevo giungere.
Non è che,restringendo un pò,si ha $|h(x)^{alpha} - h(y)^{alpha}| leq"["alpha"]" M^{alpha"-1"} |h(x) - h(y)|$(chiaramente per $"["alpha"]"$ indico la parte intera,non inferiore ad 1 nell'evenienza considerata,del numero reale $alpha$)?
Ho ovviamente preso spunto dalla tua,ma procedendo nella stima di $"1-t"^{alpha}$(con $"t="{"h(x)"}/{"h(y)"} " se h(x)"le"h(y)"$ e $"t="{"h(y)"}/{"h(x)"} " se h(y)"le"h(x)"$) son passato a maggiorarlo con $"1-t"^{"["alpha"]"}$:
gli dedichi un attimo,e se non è stata questa la tua strategia per dimostrare la disuguaglianza usata per concludere posti un hint per verificarla in maniera alternativa?
Grazie dell'attenzione:
saluti dal web.
"Rigel":
Se \( \alpha < 1 \) in generale \( h^\alpha \) non è Lipschitziana, come puoi constatare considerando \( h(x) = x \), \( x \in [0,1] \).
Azz,vero:
ed infatti,presa carta e penna,la disuguaglianza da me suggerita,pur vera,non è utile perchè ad un certo punto s'interrompe la concordanza dei versi nelle stima cui volevo giungere.
"Rigel":
Nel caso \( \alpha \geq 1 \), sia \( M := \max |h| \) (che esiste finito per il teorema di Weierstrass).
Hai che
\[ |h(x)^\alpha - h(y)^\alpha| \leq \alpha\, M^{\alpha -1} |h(x) - h(y)| \]
da cui puoi dedurre la Lipschitzianità di \( h^\alpha \).
Non è che,restringendo un pò,si ha $|h(x)^{alpha} - h(y)^{alpha}| leq"["alpha"]" M^{alpha"-1"} |h(x) - h(y)|$(chiaramente per $"["alpha"]"$ indico la parte intera,non inferiore ad 1 nell'evenienza considerata,del numero reale $alpha$)?
Ho ovviamente preso spunto dalla tua,ma procedendo nella stima di $"1-t"^{alpha}$(con $"t="{"h(x)"}/{"h(y)"} " se h(x)"le"h(y)"$ e $"t="{"h(y)"}/{"h(x)"} " se h(y)"le"h(x)"$) son passato a maggiorarlo con $"1-t"^{"["alpha"]"}$:
gli dedichi un attimo,e se non è stata questa la tua strategia per dimostrare la disuguaglianza usata per concludere posti un hint per verificarla in maniera alternativa?
Grazie dell'attenzione:
saluti dal web.
Grazie mille a tutti per le risposte! 
Se invece la funzione fosse anche derivabile, nel caso $\alpha<1$ avrei che
$$
D[h^\alpha(x)]=\alpha h^{\alpha-1}(x)h'(x)=\alpha\frac{h'(x)}{h^{1-\alpha}(x)}
$$
Dato che $h$ è strettamente positiva, sicuramente il denominatore è diverso da 0. Posso dunque concludere che è Lipschitziana se $\mbox{sup}_{x\in A} h'(x)<\infty$?
Se invece la funzione fosse anche derivabile, nel caso $\alpha<1$ avrei che
$$
D[h^\alpha(x)]=\alpha h^{\alpha-1}(x)h'(x)=\alpha\frac{h'(x)}{h^{1-\alpha}(x)}
$$
Dato che $h$ è strettamente positiva, sicuramente il denominatore è diverso da 0. Posso dunque concludere che è Lipschitziana se $\mbox{sup}_{x\in A} h'(x)<\infty$?
@theras:
scusa, ho letto solo ora la tua risposta.
Mi sembra strano che la disuguaglianza valga con \([\alpha]\) al posto di \(\alpha\) a secondo membro.
Se non sbaglio, un controesempio dovrebbe essere il seguente.
Prendiamo \(h(x) = x\), \(x\in [0,2]\), \(\alpha = 3/2\), e consideriamo i punti \(x=2\) e \(y=1\).
Da una parte abbiamo
\[
|h(2)^{3/2} - h(1)^{3/2}| = 2^{3/2} - 1 \simeq 1.82;
\]
dall'altra
\[
[\alpha] M^{\alpha - 1} |h(2) - h(1)| = 1 \cdot 2^{1/2} \cdot (2-1) = 2^{1/2} \simeq 1.41.
\]
scusa, ho letto solo ora la tua risposta.
Mi sembra strano che la disuguaglianza valga con \([\alpha]\) al posto di \(\alpha\) a secondo membro.
Se non sbaglio, un controesempio dovrebbe essere il seguente.
Prendiamo \(h(x) = x\), \(x\in [0,2]\), \(\alpha = 3/2\), e consideriamo i punti \(x=2\) e \(y=1\).
Da una parte abbiamo
\[
|h(2)^{3/2} - h(1)^{3/2}| = 2^{3/2} - 1 \simeq 1.82;
\]
dall'altra
\[
[\alpha] M^{\alpha - 1} |h(2) - h(1)| = 1 \cdot 2^{1/2} \cdot (2-1) = 2^{1/2} \simeq 1.41.
\]
"sahara89":
Grazie mille a tutti per le risposte!
Se invece la funzione fosse anche derivabile, nel caso $\alpha<1$ avrei che
$$
D[h^\alpha(x)]=\alpha h^{\alpha-1}(x)h'(x)=\alpha\frac{h'(x)}{h^{1-\alpha}(x)}
$$
Dato che $h$ è strettamente positiva, sicuramente il denominatore è diverso da 0. Posso dunque concludere che è Lipschitziana se $\mbox{sup}_{x\in A} h'(x)<\infty$?
Se vuoi una condizione sufficiente, devi richiedere anche che \(\inf_{x\in A} h(x) > 0\).
"Rigel":
Se vuoi una condizione sufficiente, devi richiedere anche che \(\inf_{x\in A} h(x) > 0\).
Ah ecco certo... altrimenti non è detto che riesco a limitarla! Grazie infinite!
@Rigel
Innanzitutto grazie dell'attenzione .
Si certo,scusa il refuso di scrittura.
Evidenzio in dettaglio l'oggetto della domanda:
supposto per fissare le idee come,per due arbitrari x,y del compatto A non necessariamente distinti,si abbia $"0"<"h(x)"le"h(y)"$,io osservo che $AA alpha in "[1,+"oo"["$ si ha $"|h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)|=|h"^{alpha}"(y)| |["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{alpha}"-1|="$
$="h"^{alpha}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)")"]"^{alpha}"}"le"h"^{"["alpha"]+1"}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}"}="$
$"=h"^{"["alpha"]"}"(y){h(y)[1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}"]}{1+"{"h(x)"}/{"h(y)"}"+...+["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]-1"}"}"le$
$le"M"^{"["alpha"]"}"[h(y)-h(x)]"underbrace{"(1+...+1)"}_{"1+(["alpha"]-1)=["alpha"] volte"}"=["alpha"]M"^{"["alpha"]"}"|h(x)-h(y)|"$
(considerazioni e conclusioni analoghe,a patto di scambiare i ruoli di x ed y,se $"h(y)"<"h(x)"$),ma non vedo la strada per arrivare alla tua..
Probabile mi scappi qualcosa di evidente,magari legata proprio al sup o l'inf di una qualche opportuna funzione in t:
anche se non è essenziale ai fini della conclusione originaria,nel caso m'illumini sulla verifica della tua stima:wink: ?
Saluti dal web.
Innanzitutto grazie dell'attenzione
."Rigel":
@theras:
scusa, ho letto solo ora la tua risposta.
Mi sembra strano che la disuguaglianza valga con \([\alpha]\) al posto di \(\alpha\) a secondo membro.
Se non sbaglio, un controesempio dovrebbe essere il seguente.
Prendiamo \(h(x) = x\), \(x\in [0,2]\), \(\alpha = 3/2\), e consideriamo i punti \(x=2\) e \(y=1\).
Da una parte abbiamo
\[
|h(2)^{3/2} - h(1)^{3/2}| = 2^{3/2} - 1 \simeq 1.82;
\]
dall'altra
\[
[\alpha] M^{\alpha - 1} |h(2) - h(1)| = 1 \cdot 2^{1/2} \cdot (2-1) = 2^{1/2} \simeq 1.41.
\]
Si certo,scusa il refuso di scrittura.
Evidenzio in dettaglio l'oggetto della domanda:
supposto per fissare le idee come,per due arbitrari x,y del compatto A non necessariamente distinti,si abbia $"0"<"h(x)"le"h(y)"$,io osservo che $AA alpha in "[1,+"oo"["$ si ha $"|h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)|=|h"^{alpha}"(y)| |["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{alpha}"-1|="$
$="h"^{alpha}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)")"]"^{alpha}"}"le"h"^{"["alpha"]+1"}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}"}="$
$"=h"^{"["alpha"]"}"(y){h(y)[1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}"]}{1+"{"h(x)"}/{"h(y)"}"+...+["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]-1"}"}"le$
$le"M"^{"["alpha"]"}"[h(y)-h(x)]"underbrace{"(1+...+1)"}_{"1+(["alpha"]-1)=["alpha"] volte"}"=["alpha"]M"^{"["alpha"]"}"|h(x)-h(y)|"$
(considerazioni e conclusioni analoghe,a patto di scambiare i ruoli di x ed y,se $"h(y)"<"h(x)"$),ma non vedo la strada per arrivare alla tua..
Probabile mi scappi qualcosa di evidente,magari legata proprio al sup o l'inf di una qualche opportuna funzione in t:
anche se non è essenziale ai fini della conclusione originaria,nel caso m'illumini sulla verifica della tua stima:wink: ?
Saluti dal web.
Posto che non abbia combinato io qualche pasticcio , dovrebbe essere sufficiente verificare che, se \(\alpha\geq 1\), si ha
\[
\phi(t) := (1-t)^{\alpha} - \alpha (1-t) \leq 0 \qquad \forall t\in [0,1].
\]
Questa disuguaglianza segue dal fatto che \(\phi(0) = 1-\alpha \leq 0\), \(\phi(1) = 0\) e \(\phi'(t) \geq 0\) per ogni \(t\in [0,1]\).
Adesso, ragionando come hai già fatto tu, se \(0 < y \leq x\), posto \(t := \frac{y}{x} \in (0,1]\), si ha che
\[
(x-y)^{\alpha} = x^{\alpha} (1-t)^{\alpha} \leq \alpha x^\alpha (1-t) = \alpha x^{\alpha-1} (x-y).
\]
, dovrebbe essere sufficiente verificare che, se \(\alpha\geq 1\), si ha\[
\phi(t) := (1-t)^{\alpha} - \alpha (1-t) \leq 0 \qquad \forall t\in [0,1].
\]
Questa disuguaglianza segue dal fatto che \(\phi(0) = 1-\alpha \leq 0\), \(\phi(1) = 0\) e \(\phi'(t) \geq 0\) per ogni \(t\in [0,1]\).
Adesso, ragionando come hai già fatto tu, se \(0 < y \leq x\), posto \(t := \frac{y}{x} \in (0,1]\), si ha che
\[
(x-y)^{\alpha} = x^{\alpha} (1-t)^{\alpha} \leq \alpha x^\alpha (1-t) = \alpha x^{\alpha-1} (x-y).
\]
Ecco l'osservazione che mi scappava:
avevi rivolto l'attenzione al solo numeratore della disuguaglianza che m'interessava,che tanto bastava ai nostri fini e diminuiva a gratis l'errore della stima!
Poi,se proprio si voleva restringere ancora,bastava notare come,fatto salvo il caso $"h(x)=h(y)"$
(nel quale la disuguaglianza è pacificamente vera),si ha per $"h(x)"<"h(y)"$ che ${"h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)"}/{"h(x)-h(y)"}"="{"h"^{alpha}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{alpha}"}"}/{"h(y)[1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"}"=h"^{alpha"-1"}"(y)"{"1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}}/{"1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}}le"h"^{alpha"-1"}"(y)"{"1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}}/{"1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}}"$:
da essa,proseguendo con la stessa tecnica di prima,è agevole importare che $ "|h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)""|"le "["alpha"]""M"^{alpha"-1"}"|h(x)-h(y)|"$(che d'altronde ha per conseguenza la tua).
Saluti dal web.
avevi rivolto l'attenzione al solo numeratore della disuguaglianza che m'interessava,che tanto bastava ai nostri fini e diminuiva a gratis l'errore della stima!
Poi,se proprio si voleva restringere ancora,bastava notare come,fatto salvo il caso $"h(x)=h(y)"$
(nel quale la disuguaglianza è pacificamente vera),si ha per $"h(x)"<"h(y)"$ che ${"h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)"}/{"h(x)-h(y)"}"="{"h"^{alpha}"(y){1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{alpha}"}"}/{"h(y)[1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"}"=h"^{alpha"-1"}"(y)"{"1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}}/{"1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}}le"h"^{alpha"-1"}"(y)"{"1-["{"h(x)"}/{"h(y)"}"]"^{"["alpha"]"}}/{"1-"{"h(x)"}/{"h(y)"}}"$:
da essa,proseguendo con la stessa tecnica di prima,è agevole importare che $ "|h"^{alpha}"(x)-h"^{alpha}"(y)""|"le "["alpha"]""M"^{alpha"-1"}"|h(x)-h(y)|"$(che d'altronde ha per conseguenza la tua).
Saluti dal web.
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