Potenza del continuo, dubbio

[WhiteC]

Ciao,
Come faccio a dimostrare che l'insieme dei numeri Reali escluso la radice di 2 ha la potenza del continuo?

[otta96]

Puoi fare così:
consideri la funzione $f:RR->RR\setminus{sqrt2}$ che manda $nsqrt2$ in $(n+1)sqrt2$ per ogni $n>=1$ e tutti gli altri elementi li manda in se stessi.

[megas_archon]

Ovviamente non c'è niente di speciale nella radice di 2. Per mostrare che \(\mathbb R\) e \(\mathbb R \setminus\{p\}\) hanno la stessa cardinalità puoi usare Cantor-Schroder-Bernstein e limitarti a trovare una funzione iniettiva \(\mathbb R \to \mathbb R\setminus\{p\}\) (una nella direzione opposta c'è ovviamente).

Senza perdita di generalità \(p=0\), e da qui puoi prendere la funzione \(x\mapsto 2^x\) che in effetti è anche iniettiva verso \(\mathbb R_{>0}\).