Potenza del continuo

[indovina]

Non è un fatto di non aprire il libro, o simili.
Ma cosa è la ''potenza del continuo''?

[G.D.5]

Qual è la potenza di [tex]\mathbb{R}[/tex]?

[Zero87]

Così su due piedi non è molto facile da spiegare.

Si parla di potenza del continuo quando si ha a che fare con cardinalità che vanno oltre il numerabile. In parole povere se un insieme ha la cardinalità del continuo non si possono elencare (nel senso di numerare) i suoi elementi in quanto ha un livello di infinito superiore a quello del numerabile.

Ecco, mi sa che ho peggiorato le idee

Su wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_del_continuo
a mio parere, però, wikipedia complica le cose ancora di più di come le ho dette io tirando in ballo i teoremi di Cantor senza spiegarli come si deve...

[misanino]

Un insieme infinito che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali $NN$ si dice numerabile.
La potenza del continuo è invece ancora più grande.
Infatti un insieme che ha la potenza del continuo (come $RR$ ad esempio) non può mai essere messo in corrispondenza biunivoca con $NN$

[xunil1987]

Quoto misanino.
E mi permetto un piccolo appunto a Zero87. Se per elencare intendi mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme $NN$ dei naturali ci siamo. In caso contrario, se per elencare intendi la biezione con un qualunque ordinale allora non va bene. Ma credo di essere ormai OT se cito Assioma dela Scelta e Teorema di Zermelo.

[indovina]

Grazie Misanino.
Credo di aver capito.
I numeri naturali vanno da $1$ a $+oo$ (in alcuni testi però si mette anche lo $0$)
Mentre i reali sono ancora ''più potenti'' perchè possono essere positivi, negativi, nulli e comprendono i razionali, gli irrazionali tipo $sqrt(2)$ e interi, quindi non c'è corrispondenza biunivoca con $N$
Quindi la differenza tra $N$ e $R$ è proprio la potenza del continuo giusto?

[misanino]

Beh, certo quella è una differenza tra $NN$ e $RR$ (anche se ce ne sono tante, a partire dal fatto che $RR$ è un campo e $NN$ no)

[indovina]

Perchè $R$ è campo e $N$ no?

[misanino]

"clever":Perchè $R$ è campo e $N$ no?

Perchè $NN$ non ha gli inversi rispetto al prodotto.
Infatti l'inverso di $2$ sarebbe $1/2$ che però non è in $NN$.
Invece $RR$ ce li ha

[Seneca1]

"clever":
Mentre i reali sono ancora ''più potenti'' perchè possono essere positivi, negativi, nulli e comprendono i razionali, gli irrazionali tipo $sqrt(2)$ e interi, quindi non c'è corrispondenza biunivoca con $N$

Attenzione che questo ragionamento qui può indurti in errore. Infatti, nonostante $NN$ non abbia i cosiddetti numeri negativi e i numeri razionali, ha la stessa potenza di $QQ$ (che è un campo, tra l'altro). Con l'aggiunta degli irrazionali all'insieme dei numeri razionali si ha $RR$, il quale ha la potenza del continuo.

[indovina]

Credo di aver capito....mi segnerò tutti i vostri appunti.
Grazie