Possibili metodi da utilizzare nel caso dell'hessiano nullo?
Salve. Nello studio dei punti stazionari della funzione $f(x,y)=(x-2)^2/3+(y-5)^4$ (con unico punto critico $(2;-5)$) si incorre nel caso dell'hessiano nullo. Fino ad ora per me la risposta era: non si può concludere nulla. Ho però paura che in futuro in un caso del genere non potrò fermarmi a una risposta simile e che, soprattutto, i metodi necessari per determinare la natura dei punti non mi verranno spiegati. Qualcuno potrebbe spiegarmi, sinteticamente, quali sono i metodi utilizzabili?
Edit: avevo scritto male la funzione. Quella corretta è: $f(x,y)=-(x-2)^2/3-(y+5)^4$
Edit: avevo scritto male la funzione. Quella corretta è: $f(x,y)=-(x-2)^2/3-(y+5)^4$
Risposte
Ce ne sono a bizzeffe di metodi che si possono utilizzare, tutti non chissà quanto convenzionali basati su osservazioni o ragionamenti.
Il sottoscritto, per esempio, usa il metodo delle direzioni diverse. Per esempio si vede il comportamento di $f(x,x)$ e $f(x,-x)$ e se sono diversi il punto è di sella. Se sono uguali, beh, allora si prende un'altra direzione e si vede cosa accade.
In questo caso, però, come direbbe gio73 - che saluto - si può notare che la funzione assume sempre valori positivi tranne in $(2,-5)$ in cui $f(2,-5)=0$. Quindi si può evincere la natura del punto $(2,-5)$ senza altri calcoli o particolari ragionamenti.
Comunque invito i moderatori a spostare nella sezione di analisi matematica a meno che oggi non scopro che le funzioni in più variabili si fanno alle superiori.
Il sottoscritto, per esempio, usa il metodo delle direzioni diverse. Per esempio si vede il comportamento di $f(x,x)$ e $f(x,-x)$ e se sono diversi il punto è di sella. Se sono uguali, beh, allora si prende un'altra direzione e si vede cosa accade.
In questo caso, però, come direbbe gio73 - che saluto - si può notare che la funzione assume sempre valori positivi tranne in $(2,-5)$ in cui $f(2,-5)=0$. Quindi si può evincere la natura del punto $(2,-5)$ senza altri calcoli o particolari ragionamenti.
Comunque invito i moderatori a spostare nella sezione di analisi matematica a meno che oggi non scopro che le funzioni in più variabili si fanno alle superiori.
"Zero87":
Il sottoscritto, per esempio, usa il metodo delle direzioni diverse. Per esempio si vede il comportamento di $f(x,x)$ e $f(x,-x)$ e se sono diversi il punto è di sella. Se sono uguali, beh, allora si prende un'altra direzione e si vede cosa accade.
In che senso? Dovrei riscrivere la funzione come $-(x-2)^2/3-(x+5)^4$ e come $-(x-2)^2/3-(-x+5)^4$?
Sì e studi il punto specifico cos'è per la funzione ad una variabile così ottenuta. Se in una direzione è minimo e in una è massimo il punto è sella. Se invece il punto critico è lo stesso per entrambe le direzioni, allora occorre provare un'altra direzione per vedere (sperare) che sia diverso altrimenti non possiamo dire niente.
Il metodo più gettonato resta sempre quello di porre $f(x,mx)$ e vedere se il limite dipende o meno da $m$ ma mi sono sempre incartato con i calcoli.
Questo è un esempio di un metodo abbastanza classico che in questo caso non dovrebbe però funzionare. In genere quando l'Hessiano è nullo e non c'è altro che aiuta si va con metodi differenti.
Comunque mi ripeto
anche perché "sezione adatta=risposte/aiuti migliori".
Il metodo più gettonato resta sempre quello di porre $f(x,mx)$ e vedere se il limite dipende o meno da $m$ ma mi sono sempre incartato con i calcoli.
Questo è un esempio di un metodo abbastanza classico che in questo caso non dovrebbe però funzionare. In genere quando l'Hessiano è nullo e non c'è altro che aiuta si va con metodi differenti.
Comunque mi ripeto
"Zero87":
invito i moderatori a spostare nella sezione di analisi matematica
anche perché "sezione adatta=risposte/aiuti migliori".
Grazie.
Quindi si tratta di massimo o di minimo?
Che si facciano per la prima volta all'università lo spero vivamente
"Zero87":
In questo caso, però, come direbbe gio73 - che saluto - si può notare che la funzione assume sempre valori positivi tranne in $(2,-5)$ in cui $f(2,-5)=0$. Quindi si può evincere la natura del punto $(2,-5)$ senza altri calcoli o particolari ragionamenti.
Quindi si tratta di massimo o di minimo?
"Zero87":
Comunque invito i moderatori a spostare nella sezione di analisi matematica a meno che oggi non scopro che le funzioni in più variabili si fanno alle superiori.
Che si facciano per la prima volta all'università lo spero vivamente
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