Possibile collegamento con la formula di Eulero
Salve a tutti. Sto studiando la dimostrazione dell'oscillatore smorzato forzato, e mi sono bloccata su un passaggio che dice che le funzioni seno e coseno possono essere sostituite con la funzione e^ (iθ), dove i è l'unità immaginaria e θ è l'angolo in questione. Nello specifico, sen(ωt + φ) = e ^ i(ωt + φ). Qual è, matematicamente, la ragione di questo passaggio?
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Grazie a chi vorrà aiutarmi
Risposte
Ciao! La formula di Eulero afferma quanto segue:
$$e^{iz} = \cos(z)+i\sin(z) \quad \quad \forall z \in \mathbb{C}$$
Sfruttando la parità del coseno e la disparità del seno si può scrivere
$$e^{-iz}= \cos(z)-i\sin(z) \quad \quad \forall z \in \mathbb{C}$$
e dunque sommando o sottraendo le due relazioni sopra scritte si ottiene:
$$\cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \quad \quad \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \quad \quad \forall z \in \mathbb{C} $$
L'uguaglianza che hai scritto tu
$$\sin(\omega t + \phi) = e^{i(\omega t + \phi)}$$
è però falsa in generale.
$$e^{iz} = \cos(z)+i\sin(z) \quad \quad \forall z \in \mathbb{C}$$
Sfruttando la parità del coseno e la disparità del seno si può scrivere
$$e^{-iz}= \cos(z)-i\sin(z) \quad \quad \forall z \in \mathbb{C}$$
e dunque sommando o sottraendo le due relazioni sopra scritte si ottiene:
$$\cos(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \quad \quad \sin(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \quad \quad \forall z \in \mathbb{C} $$
L'uguaglianza che hai scritto tu
$$\sin(\omega t + \phi) = e^{i(\omega t + \phi)}$$
è però falsa in generale.
Ciao SyriaNic,
Non è che per caso ti manca un pezzo? Cioè
$\sin(\omega t + \phi) = Im[e^{i(\omega t + \phi)}]$ ?
Mi pare di ricordare qualcosa del genere nella dimostrazione dell'oscillatore smorzato forzato...
Non è che per caso ti manca un pezzo? Cioè
$\sin(\omega t + \phi) = Im[e^{i(\omega t + \phi)}]$ ?
Mi pare di ricordare qualcosa del genere nella dimostrazione dell'oscillatore smorzato forzato...
Grazie a entrambi.
Pilloeffe, no. C'è scritto esattamente quanto ho riportato, e a questo punto non ne capisco affatto il senso. Cosa rappresenterebbero I ed m in ciò che tu ricordi?
Pilloeffe, no. C'è scritto esattamente quanto ho riportato, e a questo punto non ne capisco affatto il senso. Cosa rappresenterebbero I ed m in ciò che tu ricordi?
Ciao SyriaNic,
$Im$ rappresenta la parte immaginaria, ma si può scrivere anche con la parte reale $Re$:
$A\cos(\omega t + \phi) = Re[Ae^{i(\omega t + \phi)}]$
D'altronde $A\sin(\omega t + \phi + frac{\pi}{2}) = A\cos(\omega t + \phi)$, quindi si passa da una forma all'altra cambiando la fase. In questo senso il moto che stai studiando può essere "rappresentato" da $e^{i(\omega t + \phi)}$, senza che ciò implichi l'uguaglianza che hai scritto che, come ti ha scritto giustamente Bremen000, in generale è falsa.
$Im$ rappresenta la parte immaginaria, ma si può scrivere anche con la parte reale $Re$:
$A\cos(\omega t + \phi) = Re[Ae^{i(\omega t + \phi)}]$
D'altronde $A\sin(\omega t + \phi + frac{\pi}{2}) = A\cos(\omega t + \phi)$, quindi si passa da una forma all'altra cambiando la fase. In questo senso il moto che stai studiando può essere "rappresentato" da $e^{i(\omega t + \phi)}$, senza che ciò implichi l'uguaglianza che hai scritto che, come ti ha scritto giustamente Bremen000, in generale è falsa.
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