Positività con massimi e minimi
Salve a tutti ho questi due problemi da svolgere con i massimi e minimi che non riesco a risolvere.
Studia per quali valori di A f(t) è positiva
1) $ A/(2t^2)+1/2t^2+A $
2) $ A/(3t^3)+1/5t^5 $
Nel primo problema ottengo come minimo $ -root(4)A $ e $ root(4)A $ e da qui non riesco più a risolvere l'equazione; nella seconda invece quando tento di sostituire il minimo nell'equazione originaria A mi viene uguale a zero. Qualcuno può darmi una mano per farmi capire l'errore? Grazie
Studia per quali valori di A f(t) è positiva
1) $ A/(2t^2)+1/2t^2+A $
2) $ A/(3t^3)+1/5t^5 $
Nel primo problema ottengo come minimo $ -root(4)A $ e $ root(4)A $ e da qui non riesco più a risolvere l'equazione; nella seconda invece quando tento di sostituire il minimo nell'equazione originaria A mi viene uguale a zero. Qualcuno può darmi una mano per farmi capire l'errore? Grazie
Risposte
La funzione $f(t)>0$ per ogni $t$ se essa ammette minimo assoluto maggiore di zero. Per cui, calcolando la derivata della prima si ha
$$f'(t)=-\frac{A}{t^3}+t=0\ \Rightarrow\ t^4-A=0\ \Rightarrow\ t=\pm\sqrt[4]{A}$$
con $A\ge 0$ altrimenti non ci sono soluzioni. Se sostituisci tali valori ottieni
$$f(\pm\sqrt[4]{A})=\frac{A}{2\sqrt{A}}+\frac{\sqrt{A}}{2}+A=\frac{A+A+2A\sqrt{A}}{2\sqrt{A}}=\frac{2A(1+\sqrt{A})}{2\sqrt{A}}>0$$
che risulta sempre verificata per $A>0$.
Prova a fare la seconda.
$$f'(t)=-\frac{A}{t^3}+t=0\ \Rightarrow\ t^4-A=0\ \Rightarrow\ t=\pm\sqrt[4]{A}$$
con $A\ge 0$ altrimenti non ci sono soluzioni. Se sostituisci tali valori ottieni
$$f(\pm\sqrt[4]{A})=\frac{A}{2\sqrt{A}}+\frac{\sqrt{A}}{2}+A=\frac{A+A+2A\sqrt{A}}{2\sqrt{A}}=\frac{2A(1+\sqrt{A})}{2\sqrt{A}}>0$$
che risulta sempre verificata per $A>0$.
Prova a fare la seconda.
Grazie mille ho provato a rifarle entrambe e finalmente mi si trovano!!
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