Polinomio Taylor Funzioni Composte
Buongiorno ragazzi..
Mi presento, sono Mario, digito da Roma e sono uno studente della facolta di Informatica...
Fra poco dovrò dare il primo esonero di Analisi 1, e nonostante la matematica non sia mai stata un problema per me, ora mi trovo un pò in difficoltà... mi devo arrangiare da solo in quanto sui professori NON si può fare nessun tipo di affidamento...
Dunque, il mio problema riguarda un esercizio svolto sui Polinomi di Taylor di funzioni composte, nel quale non comprendo alcuni passaggi
Dunque la funzione è $e^(x-sinx)$ fino al 6 ordine con (x0=0)
L'esercizio procede :
- $g(x) = x-sinx$ ; $f(x)= e^(g(x))$
- Se Tf e Tg sono polinomi di Taylor di f e di g rispettivamente, allora $Tf(g)^(x) = Tf(Tg(x))$ (????)
- Scriviamo $Tf(y) = 1+y+y^2/2+y^3/3!+o(x^3)$ dove $f(x)=e^x$.. lo sviluppo l'ho capito, ma perchè fino alla terza potenza se si chiede di sesto ordine?!
- Per scrivere tg(x) sviluppiamo le derivate fino al sesto ordine... dove per finale abbiamo :
$Tg(x) = x^3/3!-x^5/5!+o(x^6)$ e fino qui ci sono...
Ora il punto cruciale che non riesco a capire:
- Sostituiamo $y=Tg(x)=Tf(g)^x = 1+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))^2$
Semplificando = $1+x^3/(3!)-x^5/(5!)+x^6/(3!^2)+o(x^6)$
Molto probabilmente è una specie di sostituzione, ma non capisco come... e perchè la $e^x$ sia sviluppata fino a 3 e non 6..
Ringrazio anticipatamente per la disponibilità e per chi risponderà... e complimenti per il forum!
Mario
Mi presento, sono Mario, digito da Roma e sono uno studente della facolta di Informatica...
Fra poco dovrò dare il primo esonero di Analisi 1, e nonostante la matematica non sia mai stata un problema per me, ora mi trovo un pò in difficoltà... mi devo arrangiare da solo in quanto sui professori NON si può fare nessun tipo di affidamento...
Dunque, il mio problema riguarda un esercizio svolto sui Polinomi di Taylor di funzioni composte, nel quale non comprendo alcuni passaggi
Dunque la funzione è $e^(x-sinx)$ fino al 6 ordine con (x0=0)
L'esercizio procede :
- $g(x) = x-sinx$ ; $f(x)= e^(g(x))$
- Se Tf e Tg sono polinomi di Taylor di f e di g rispettivamente, allora $Tf(g)^(x) = Tf(Tg(x))$ (????)
- Scriviamo $Tf(y) = 1+y+y^2/2+y^3/3!+o(x^3)$ dove $f(x)=e^x$.. lo sviluppo l'ho capito, ma perchè fino alla terza potenza se si chiede di sesto ordine?!
- Per scrivere tg(x) sviluppiamo le derivate fino al sesto ordine... dove per finale abbiamo :
$Tg(x) = x^3/3!-x^5/5!+o(x^6)$ e fino qui ci sono...
Ora il punto cruciale che non riesco a capire:
- Sostituiamo $y=Tg(x)=Tf(g)^x = 1+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))^2$
Semplificando = $1+x^3/(3!)-x^5/(5!)+x^6/(3!^2)+o(x^6)$
Molto probabilmente è una specie di sostituzione, ma non capisco come... e perchè la $e^x$ sia sviluppata fino a 3 e non 6..
Ringrazio anticipatamente per la disponibilità e per chi risponderà... e complimenti per il forum!
Mario
Risposte
"AttraversamiIlCuore":
Buongiorno ragazzi..
Mi presento, sono Mario, digito da Roma e sono uno studente della facolta di Informatica...
Fra poco dovrò dare il primo esonero di Analisi 1, e nonostante la matematica non sia mai stata un problema per me, ora mi trovo un pò in difficoltà... mi devo arrangiare da solo in quanto sui professori NON si può fare nessun tipo di affidamento...
Dunque, il mio problema riguarda un esercizio svolto sui Polinomi di Taylor di funzioni composte, nel quale non comprendo alcuni passaggi
Dunque la funzione è $e^(x-sinx)$ fino al 6 ordine con (x0=0)
L'esercizio procede :
- $g(x) = x-sinx$ ; $f(x)= e^(g(x))$
- Se Tf e Tg sono polinomi di Taylor di f e di g rispettivamente, allora $Tf(g)^(x) = Tf(Tg(x))$ (????)
Bentrovato Mario!
Forse la scrittura è poco chiara...
$T[f(g)]=T[f(T[g])]$
il tutto applicato a $x$. Ovvero prima trovi il polinomio di $g$ e poi lo sostituisci come variabile nel polinomio di $f$
- Scriviamo $Tf(y) = 1+y+y^2/2+y^3/3!+o(x^3)$ dove $f(x)=e^x$.. lo sviluppo l'ho capito, ma perchè fino alla terza potenza se si chiede di sesto ordine?!
- Per scrivere tg(x) sviluppiamo le derivate fino al sesto ordine... dove per finale abbiamo :
$Tg(x) = x^3/3!-x^5/5!+o(x^6)$ e fino qui ci sono...
Ora il punto cruciale che non riesco a capire:
- Sostituiamo $y=Tg(x)=Tf(g)^x = 1+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))+(x^3/(3!)-x^5/(5!)+o(x^6))^2$
Semplificando = $1+x^3/(3!)-x^5/(5!)+x^6/(3!^2)+o(x^6)$
Molto probabilmente è una specie di sostituzione, ma non capisco come... e perchè la $e^x$ sia sviluppata fino a 3 e non 6..
Ringrazio anticipatamente per la disponibilità e per chi risponderà... e complimenti per il forum!
Mario
Qui si tratta solo di un poco di "naso" per scegliere di fare il minor lavoro possibile, nel trovare i gradi, ed ottenere il risultato
Ciao! Intanto grazie per avermi risposto...
Mi rimane solo un dubbio, come decido dino a che ordine sviluppare? Se il testo mi ordina fino al sesto ordine, perchè qui ha sviluppato $e^x$ fino al terzo ordine? Dove sta il vantaggio?
E poi perchè nella sostituzione si ferma alla seconda potenza?
Grazie ancora della disponibilità
Mi rimane solo un dubbio, come decido dino a che ordine sviluppare? Se il testo mi ordina fino al sesto ordine, perchè qui ha sviluppato $e^x$ fino al terzo ordine? Dove sta il vantaggio?
E poi perchè nella sostituzione si ferma alla seconda potenza?
Grazie ancora della disponibilità
Beh, in teoria credo che se si vuole fare lo sviluppo fino al sesto ordine della funzione composta, si poteva sviluppare $x-sin(x)$ al terzo ordine e $e^x$ fino al secondo, visto che sono sufficienti, sostituendo uno nell'altro, per ottenere il termine di sesto grado.
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