Polinomio Taylor funzione implicita
Per quanto riguarda il punto uno, mi è tutto chiaro, per il punto due ho risolto e ho trovato che il polinomio di Taylor risulta: $ -1 + 1/2 (2+e)/(e-2) x^2$ ed è differente dal risultato finale, non capisco perché.
Potreste indicarmi se si tratta di un errore mio o del libro?
Grazie
Risposte
Posta i calcoli. 
Stesso risultato per quanto riguarda $g’’(0)$ ma poi non capisco come trova il polinomio di Taylor
I tuoi, non quelli delle dispense... 
Te l’ho detto, anche a me viene uguale $g’’(0)$, il calcolo è lo stesso.
Poi per trovare il polinomio di Taylor io ho fatto:$ -1+g’(0) x+ 1/2 g’’(0) x^2$
Non mi torna il risultato .
Poi per trovare il polinomio di Taylor io ho fatto:$ -1+g’(0) x+ 1/2 g’’(0) x^2$
Non mi torna il risultato .
Non è corretto il mio procedimento?
comincerei a prendere in considerazione la possibilità di un errore di stampa
Grazie abatefarina, se il mio procedimento ti sembra corretto, allora probabilmente c’è un errore lì
"AndretopC0707":
Non è corretto il mio procedimento?
“Il tuo procedimento” non l’hai scritto.
Posso scriverlo ma sarebbe inutile, è uguale a quello sul file.
Una volta trovato $g’’(0)$, io avevo scritto il polinomio di Taylor come:
$-1 + g’(0)x + 1/2 g’’(0)x^2$ , con g’ che è 0 e g’’ uguale a quello trovato.
Una volta trovato $g’’(0)$, io avevo scritto il polinomio di Taylor come:
$-1 + g’(0)x + 1/2 g’’(0)x^2$ , con g’ che è 0 e g’’ uguale a quello trovato.
Non capisco perché risulta $(2+e)/ (2-e) x^2$
Basandoti su quello che è il risultato riportato sul file, ti sembra corretto il polinomio di Taylor lì scritto?
Se $g(x)$ è implicitamente definita da $F(x,y)=0$ intorno a $(0,-1)$ allora:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} F(x,g(x)) = 0\qquad &\Leftrightarrow \qquad F_x(x,g(x)) + F_y(x,g(x))\ g^\prime (x) = 0\\
&\Rightarrow \qquad g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui in particolare segue:
\[
\begin{split}
g^\prime (0) &= - \frac{F_x(0,g(0))}{F_y(0,g(0))} \\
&= - \frac{F_x(0,-1)}{F_y(0,-1)} \\
&= - \frac{\left. e^{x-y} + 2x - e\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}}\\
&= 0\; .
\end{split}
\]
Ancora, da \(g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\) segue:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime} (x) &= - \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\right] \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} + \frac{F_x(x,g(x))}{F_y^2 (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} - \frac{g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x))}{F_y(x,g(x))} - g^\prime(x)\ \frac{F_{xy} (x,g(x)) + F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime}(0) &= - \frac{F_{xx} (0,g(0))}{F_y(0,g(0))} - g^\prime(0)\ \frac{F_{xy} (0,g(0)) + F_{yx}(0,g(0)) + F_{yy}(0,g(0))\ g^\prime (0)}{F_y (0,g(0))} \\
&= - \frac{F_{xx} (0,-1)}{F_y(0,-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
g^{\prime \prime}(0) = - \frac{\left. e^{x-y} + 2\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}} = \frac{e+2}{e-2}\; .
\]
Quindi il polinomio di Taylor del secondo ordine di $g$ centrato in $0$ è:
\[
T_2(g;0) = -1 + \frac{e+2}{2(e - 2)}\ x^2\; .
\]
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} F(x,g(x)) = 0\qquad &\Leftrightarrow \qquad F_x(x,g(x)) + F_y(x,g(x))\ g^\prime (x) = 0\\
&\Rightarrow \qquad g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui in particolare segue:
\[
\begin{split}
g^\prime (0) &= - \frac{F_x(0,g(0))}{F_y(0,g(0))} \\
&= - \frac{F_x(0,-1)}{F_y(0,-1)} \\
&= - \frac{\left. e^{x-y} + 2x - e\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}}\\
&= 0\; .
\end{split}
\]
Ancora, da \(g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\) segue:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime} (x) &= - \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\right] \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} + \frac{F_x(x,g(x))}{F_y^2 (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} - \frac{g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x))}{F_y(x,g(x))} - g^\prime(x)\ \frac{F_{xy} (x,g(x)) + F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime}(0) &= - \frac{F_{xx} (0,g(0))}{F_y(0,g(0))} - g^\prime(0)\ \frac{F_{xy} (0,g(0)) + F_{yx}(0,g(0)) + F_{yy}(0,g(0))\ g^\prime (0)}{F_y (0,g(0))} \\
&= - \frac{F_{xx} (0,-1)}{F_y(0,-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
g^{\prime \prime}(0) = - \frac{\left. e^{x-y} + 2\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}} = \frac{e+2}{e-2}\; .
\]
Quindi il polinomio di Taylor del secondo ordine di $g$ centrato in $0$ è:
\[
T_2(g;0) = -1 + \frac{e+2}{2(e - 2)}\ x^2\; .
\]
Grazie mille
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