Polinomio Taylor

[Marcel1]

Ciao,
Qualcuno sa dirmi come si fa a dimostrare che il polinomio di taylor di grado n di una funzione f nel punto xo è quel polinomio che "meglio" approssima la funzione f in un intorno di xo ?
Cioè fissato un grado n come si dimostra che tra la "famiglia" composta da tutti i polinomi di grado n nel piano quello che meglio approssima la funzione f in un intorno di xo è il polinomio di taylor?

[Seneca1]

"Marcel":Ciao,
Qualcuno sa dirmi come si fa a dimostrare che il polinomio di taylor di grado n di una funzione f nel punto xo è quel polinomio che "meglio" approssima la funzione f in un intorno di xo ?
Cioè fissato un grado n come si dimostra che tra la "famiglia" composta da tutti i polinomi di grado n nel piano quello che meglio approssima la funzione f in un intorno di xo è il polinomio di taylor?

Credo tu debba dimostrare che $f(x) - P_n(x)$ ( dove $P_n(x)$ è il polinomio di Taylor di ordine $n$) è un $"o"(x^n)$.

Quindi:

$lim_(x -> x_0) (f(x) - P_n(x))/x^n = 0$

[Marcel1]

acusa ti potresti spiegare meglio, perchè per dimostrare che il polinomio di taylor di grado n di una funzione f nel punto xo è quel polinomio che "meglio" approssima la funzione f in un intorno di xo è necessario dimostrare che f(x)-pn(x) è un piccolo di x alla n?

[dissonance]

Seneca voleva dire $(x-x_0)^n$. Comunque faccio notare che "meglio approssima" da solo non significa niente. Ci sono tanti modi in cui un polinomio può rappresentare la "migliore approssimazione" di una funzione. Quando si parla di polinomi di Taylor, essi rappresentano la migliore approssimazione locale nel senso che (chiamo $P_n$ il polinomio di Taylor di $f$ di centro $x_0$ [size=75][edit][/size]di grado $n$):

$f(x)-P_n(x)=o((x-x_0)^n)$ e se un polinomio $Q_n(x)$ di grado $n$ è tale che $f(x)-Q_n(x)=o((x-x_0)^n)$ allora $Q_n=P_n$.

E per dimostrare questa proposizione si usa il teorema di de l'Hôpital.

(Almeno, mi pare, spero di non sbagliarmi e/o ricordare male! Vediamo che ne pensa Seneca che di queste cose ne capisce.)

[Seneca1]

"dissonance":
(Almeno, mi pare, spero di non sbagliarmi e/o ricordare male! Vediamo che ne pensa Seneca che di queste cose ne capisce.)

Sei tu quello capace, mica io!

Credo sia come scrivi tu. L'espressione "meglio approssima" vuol dire tutto e niente.

Ciò che si intende dimostrare è che tra tutti i polinomi $P(x)$ di grado $n$ ne esiste uno, il polinomio di Taylor $T(x)$, tale che lo scarto $f(x) - T(x)$ sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $(x - x_0)^n$ per $x -> x_0$.