Polinomio in $CC[x]$
Ciao a tutti.
Posto in questa sezione, sperando che sia quella corretta: in caso, spostate pure il 3d. In una dimostrazione ho enunciata la seguente proprietà: sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali non costante, visto come elemento di $CC[x]$. Allora l'insieme ${z in CC| |p(x)|<=1}$ è limitato.
Non riesco a capire se la dimostrazione richiede l'uso dell'analisi complessa, che io non ho mai studiato, oppure sia immediata, e io non riesco a vederla (cosa molto probabile, dopo una giornata passata sui libri
). Potete illuminarmi?
EDIT: come giustamente puntualizzato da dissonance, aggiungo l'ipotesi che $p$ sia non costante.
Posto in questa sezione, sperando che sia quella corretta: in caso, spostate pure il 3d. In una dimostrazione ho enunciata la seguente proprietà: sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali non costante, visto come elemento di $CC[x]$. Allora l'insieme ${z in CC| |p(x)|<=1}$ è limitato.
Non riesco a capire se la dimostrazione richiede l'uso dell'analisi complessa, che io non ho mai studiato, oppure sia immediata, e io non riesco a vederla (cosa molto probabile, dopo una giornata passata sui libri
). Potete illuminarmi?EDIT: come giustamente puntualizzato da dissonance, aggiungo l'ipotesi che $p$ sia non costante.
Risposte
La applicazioni con quella proprietà si dicono applicazioni proprie. Prova a calcolare il limite per $|z|\to \infty$ di $|p(x)|$. Dopodiché supponi per assurdo che $|p|^{-1}([0, 1])$ non sia limitato. Allora potresti prendere una successione in tale insieme che fugge ad infinito. Perché ti ritrovi con una contraddizione?
N.B.: Ti sei dimenticato di richiedere che $p$ abbia grado almeno $1$.
EDIT: C'era un errore sopra: avevo scritto $p^{-1}$ in luogo di $|p|^{-1}$.
N.B.: Ti sei dimenticato di richiedere che $p$ abbia grado almeno $1$.
EDIT: C'era un errore sopra: avevo scritto $p^{-1}$ in luogo di $|p|^{-1}$.
Vediamo se ci sono arrivato. Il limite mi viene $+\infty$. Per assurdo, supponiamo che $A=|p|^{-1}([0,1])={alpha in CC| |p(alpha)|<=1}$ sia non limitato: allora posso estrarre una successione in $A$ tale che la norma dei suoi elementi tende a più infinito. Ma allora, per il limite, l'immagine della successione tramite $|p|$ tenderebbe a più infinito, assurdo, dato che gli elementi di tale immagine dovrebbero essere non superiori a 1.
Può andare?
Può andare?
Esatto.
Ma non c'è nemmeno bisogno dell'assurdo; basta la definizione di limite con [tex]$\varepsilon =1$[/tex].
E, tra l'altro, la cosa vale per tutti i polinomi di [tex]$\mathbb{C}[x]$[/tex], non solo per quelli a coefficienti reali.
Infatti, se [tex]p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k[/tex], con [tex]$a_0,\ldots ,a_n\in \mathbb{C}$[/tex], allora:
[tex]$|p(x)|=|x|^n\ \left| \sum_{k=0}^n a_k x^{k-n}\right|$[/tex]
quindi [tex]$\lim_{x\to \infty} |p(x)|=+\infty$[/tex] e conseguentemente, preso [tex]$\varepsilon =1$[/tex] nella definizione di limite si ha:
[tex]$\exists \delta >0:\ \forall x\in \mathbb{C}\setminus \overline{D}(0;\delta),\quad |p(x)|>1$[/tex]
(in cui [tex]$\overline{D}(0;\delta)$[/tex] è il cerchio chiuso di centro [tex]$0$[/tex] e raggio [tex]$\delta$[/tex]) ossia [tex]$\{ x\in \mathbb{C}:\ |p(x)|\leq 1\}\subseteq \overline{D}(0;\delta)$[/tex].
E, tra l'altro, la cosa vale per tutti i polinomi di [tex]$\mathbb{C}[x]$[/tex], non solo per quelli a coefficienti reali.
Infatti, se [tex]p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k[/tex], con [tex]$a_0,\ldots ,a_n\in \mathbb{C}$[/tex], allora:
[tex]$|p(x)|=|x|^n\ \left| \sum_{k=0}^n a_k x^{k-n}\right|$[/tex]
quindi [tex]$\lim_{x\to \infty} |p(x)|=+\infty$[/tex] e conseguentemente, preso [tex]$\varepsilon =1$[/tex] nella definizione di limite si ha:
[tex]$\exists \delta >0:\ \forall x\in \mathbb{C}\setminus \overline{D}(0;\delta),\quad |p(x)|>1$[/tex]
(in cui [tex]$\overline{D}(0;\delta)$[/tex] è il cerchio chiuso di centro [tex]$0$[/tex] e raggio [tex]$\delta$[/tex]) ossia [tex]$\{ x\in \mathbb{C}:\ |p(x)|\leq 1\}\subseteq \overline{D}(0;\delta)$[/tex].
Il ragionamento non era difficile, dopo che uno aveva pensato di vedere l'insieme ${z in CC| |p(z)|<=1}$ come antimmagine di $[0,1]$ tramite $|p|^{-1}$. Posso chiederti dove hai incontrato questo tipo di ragionamento, che mi pare di capire che si generalizzi nel concetto di funzioni proprie?
Grazie mille a dissonance per l'aiuto e a gugo82 per la precisazione. Buona serata a tutti!
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