Polinomio di taylor in più variabili

[itisscience]

salve ragazzi, mi si chiede di scrivere il polinomio di taylor di grado 3 centrato nel punto $ x^0=0=(0,0,0) $ della funzione $ f:RR^3->RR $ $ f(x,y,z)=e^{x+yz}-4zsinx $

la notazione a cui sono abituata per il calcolo del polinomio di grado $ k $ è $ P_k(x)=sum_(d =0)^k1/{d!}Q_d^(f) (x-x^0) $ dove $ Q_d^(f) (x-x^0)=sum_(|alpha| = \d) (|alpha|!)/(alpha!)D^alphaf(x^0)(x-x^0)^alpha $

però i problemi nascono per $ d=2 $ :non ho problemi nel calcolare la matrice hessiana e valutarla nel punto $ (0.0.0) $ ma non capisco che valore assume il multi-indice $ alpha $ .
poichè devo calcolare derivate parziali seconde pensavo che il multi-indice valesse
$ (|alpha|!)/(alpha!)=((2+2+2)!)/2 $ ma il libro riporta: $ Q_2^(f)(x,y,z)= ( x \ \ y \ \ z ) H_(f)(0)( ( x ),( y ),( z ) ) $
che fine fa il multiindice? e perchè c'è un vettore riga $ ( x \ \ y \ \ z ) $ e poi lo stesso in colonna? non dovrebbe essere $ H_(f)(0)(x-x^0)^2 $ ?

[itisscience]

up

[anonymous_0b37e9]

Al di là dell'applicazione della formula, conviene, di gran lunga, lo sviluppo dell'esponenziale e del seno:

$e^(x+yz)-4zsinx~=$

$~=1+(x+yz)+1/2(x+yz)^2+1/6(x+yz)^3-4z(x)~=$

$~=1+x+1/2x^2-4xz+yz+1/6x^3+xyz$

A questo punto, aver risolto per altra via, può essere d'aiuto nell'applicazione della formula.

[dissonance]

@itisscience: è solo un problema di notazioni. Nella pratica quelle formule coi multiindici si usano raramente. La notazione che hai riportato poi è strana, perché coinvolge la forma $\alpha$-lineare $D^\alpha(x^0)$, e anche $(x-x^0)^\alpha$ potrebbe generatre confusione, per questo in pratica si cerca di evitare il più possibile.

Quanto alla matrice Hessiana, quella scrittura con vettori riga e colonna è solo una maniera conveniente di indicare la forma quadratica che tu hai denotato con $D^2 f(x^0)$. Come giustamente suggerisce Sergeant Elias, conviene farsi qualche conto in concreto così da capire bene cosa sta succedendo. Sono solo notazioni, ma fanno confondere.

Sono d'accordo con @anonymous_0b37e9 che in pratica questi sviluppi non si calcolano con le formule generali ma espandendo direttamente, come fa lui.

[itisscience]

ho avuto modo di rifletterci con calma e capire la notazione usata, effettivamente genera confusione.
ho capito apprezzato i vostri consigli, grazie mille!