Polinomio di Taylor di una composizione

[freddofede]

Ci hanno appena spiegato che $P_n(f(g(x))$, cioè il polinomio di Taylor di f composto g in $x_0$, è uguale a i termini di grado minore o uguale a n di $Q_n(f)$ composto $P_n(g)$ con $P_n(g)$ polinomio di Taylor di g centrato in $x_0$ e $Q_n(f)$ polinomio di Taylor di f centrato in $g(x_0)$.

Prendiamo per esempio il polinomio di Taylor di una funzione banalissima: $ln(1+x)$, con $f(y) = ln(1-y)$ e $g(x) = -x$.
Abbiamo che $x_0 = 0$, $g(x_0) = 0$ e:

$-x = x - x^2/2 + x^3/3 + ... + (-1)^(n+1)x^n/n + o(x^n)$
$ln(1-y) = -(y + y^2/2 + y^3/3 + .... + y^n/n) + o(x^n)$

Scusate ma a questo punto dobbiamo fare $y = P_n(-x)$ per ottenere il risultato ? Non potremo sostituirci direttamente -x??

[freddofede]

Fa niente stamattina ho avuto una folgorazione e ho capito... ciao a tutti