Polinomio di Taylor di integrale doppio

[Ingy]

Salve a tutti, un esercizio richiede: Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 1 di f(x) in 1, con
$ f(x)=int_(1)^(x)(int_(0)^(t)(1+s)^2log(1+s)ds )dt $

Intanto so che f(1)=0, ma per calcolare la derivata prima e quelle successive in 1 come devo fare?

In seguito chiede di trovare una costante C tale che |f(x)-p(x)| (per p(x) si intende il polinomio di Taylor)

Grazie

[Rigel1]

La derivata prima di \(f\) la puoi calcolare usando il teorema di Torricelli:
\[
(1) \qquad
f'(x) = \int_0^x (1+s)^2 \log(1+s)\, ds.
\]
In particolare, calcolando l'integrale per parti hai che
\[
f'(1) = \int_0^1 (1+s)^2 \log(1+s)\, ds = \frac{24 \log 2 - 7}{9}\,.
\]
Il polinomio di Taylor di ordine \(1\) è dunque
\[
p(x) = \frac{24 \log 2 - 7}{9}\, x.
\]
Per ottenere l'ultima stima richiesta puoi calcolare \(f''\) derivando la (1) e ricordandoti della formula di Taylor col resto di Lagrange.

[Ingy]

Grazie mille!