Polinomio di Taylor di funzione composta
Mannaggia, sempre ste funzioni esponenziali composte...
Adesso mi sto incartando sull'applicazione della formula di Taylor in 0 di questa funzione:
$(1+3x)^log(1+x)$
Non so neanche dove iniziare a mettere le mani...
Adesso mi sto incartando sull'applicazione della formula di Taylor in 0 di questa funzione:
$(1+3x)^log(1+x)$
Non so neanche dove iniziare a mettere le mani...
Risposte
Prova a cominciare con: $(1+3x)^(log(1+x))="exp"[log(1+x)log(1+3x)]$, poi sviluppi i due logaritmi, moltiplichi e infine sviluppi l'esponenziale. Dovrebbe funzionare.
Utilizzando gli sviluppi di McLaurin abbiamo che
$log(1 + x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 + o(x^4)$
mentre
$e^x = 1 + 1/(2!) x^2 + 1/(3!) x^3 + o(x^4)$
provo a farlo poi lo posto!
$log(1 + x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 + o(x^4)$
mentre
$e^x = 1 + 1/(2!) x^2 + 1/(3!) x^3 + o(x^4)$
provo a farlo poi lo posto!
Scusa ma non manca una $x$ nello sviluppo del polinomio per $e^x$?
$T^2(e^x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$?
$T^2(e^x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$?
Per il polinomio di Taylor procedi con il calcolo delle derivate della funzione:
$f(x)= e^[ln(1+x)ln(1+3x)]$
Da cui:
$f'(x)=d/(dx)(ln(1+x)ln(1+3x))*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]=[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]$
$f^((2))(x) = [(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]^2*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]+ d/(dx)[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)] *e^[ln(1+x)ln(1+3x)] =$
$=[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]^2*e^[ln(1+x)ln(1+3x)] + [((1+3x)/(1+x) - 3ln(1+x))/(1+3x)^2 + ((1+x)/(1+3x) - ln(1+3x))/(1+x)^2]*e^[ln(1+x)ln(1+3x)] $
Quindi:
$(1+x)^(1+3x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f^((2))(x_0)/(2!)(x-x_0)^2 + o(x^2)$
McLaurin allora diventa:
$(1+x)^(1+3x) = 1 + ex + ex^2 + o(x^2)$
$f(x)= e^[ln(1+x)ln(1+3x)]$
Da cui:
$f'(x)=d/(dx)(ln(1+x)ln(1+3x))*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]=[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]$
$f^((2))(x) = [(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]^2*e^[ln(1+x)ln(1+3x)]+ d/(dx)[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)] *e^[ln(1+x)ln(1+3x)] =$
$=[(ln(1+x))/(1+3x)+ (ln(1+3x))/(1+x)]^2*e^[ln(1+x)ln(1+3x)] + [((1+3x)/(1+x) - 3ln(1+x))/(1+3x)^2 + ((1+x)/(1+3x) - ln(1+3x))/(1+x)^2]*e^[ln(1+x)ln(1+3x)] $
Quindi:
$(1+x)^(1+3x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f^((2))(x_0)/(2!)(x-x_0)^2 + o(x^2)$
McLaurin allora diventa:
$(1+x)^(1+3x) = 1 + ex + ex^2 + o(x^2)$
Allora: lo sviluppo del polinomio di ordine 2 di $log(1+x)$ è $x - \frac{x^2}{2}$, mentre quello di $log(1+3x)$ è $3x-\frac{9x^2}{2}$.
Lo sviluppo di Taylor del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei polinomi ottenuti, troncato all'ordine voluto. Visto che il termine di grado più basso che ottengo dal prodotto $(x - \frac{x^2}{2})·(3x-\frac{9x^2}{2})$ è proprio $3x^2$, allora tutto il resto lo butto via.
Ora che ho trasformato l'esponente, mi devo solo devo calcolare $T^2$ di $e^(3x^2)$
Dato che $T^2 (e^y) = 1+y+\frac{y^2}{2!}$, ma dato anche che $y$ è già di ordine 2, allora il polinomio risultante è $1+3x^2$.
...ma secondo il test il risultato è $1+6x^2$. Cosa ho sbagliato?
Lo sviluppo di Taylor del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei polinomi ottenuti, troncato all'ordine voluto. Visto che il termine di grado più basso che ottengo dal prodotto $(x - \frac{x^2}{2})·(3x-\frac{9x^2}{2})$ è proprio $3x^2$, allora tutto il resto lo butto via.
Ora che ho trasformato l'esponente, mi devo solo devo calcolare $T^2$ di $e^(3x^2)$
Dato che $T^2 (e^y) = 1+y+\frac{y^2}{2!}$, ma dato anche che $y$ è già di ordine 2, allora il polinomio risultante è $1+3x^2$.
...ma secondo il test il risultato è $1+6x^2$. Cosa ho sbagliato?
A scrivere le formule... 
Non si capisce nulla! O_o
Non si capisce nulla! O_o
Le ho corrette 
...e comunque sapete perché il risultato non mi torna? Perché ho sbagliato a trascrivere il testo dell'esercizio: $log(1+2x)$ e non $log(1+x)$. Ora i conti tornano...
...e comunque sapete perché il risultato non mi torna? Perché ho sbagliato a trascrivere il testo dell'esercizio: $log(1+2x)$ e non $log(1+x)$. Ora i conti tornano...
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