[?] Polinomio di taylor delle composte e potenze
Salve,
stavo svolgendo questo limite con taylor:
\( \lim_{x\rightarrow 0} {\frac{x^k}{\tan(x\cos(x)- (\tan(x))\cos(\tan(x))} } \)
E ho optato per un "alto" o-piccolo quindi \( o(x^9) \), però come potete immaginare i calcoli che si vanno a fare sono decisamente lunghi e noiosi, decido quindi di tagliare dalle parentesi i termini dei polinomi troppo grossi, ma per i per i termini misti che ci sarebbero fra un termine più piccolo di \( o(x^9) \) e uno più grande, come mi devo comportare?
Vi faccio capire:
[...]+ \( bx^5(1+Ax^2+Bx^4+Cx^6+Dx^8)^5 \) + [...]+ \( o(x^9) \) , quali termini dovrei tenere e quali no? Esiste un trucco che "a occhio" o comunque più velocemente di svolgere la potenza mi fa capire cosa resterà o meno?
Da notare che io prima di pormi questo dubbio tenevo solo i termini che, elevati alla potenza esterna, fossero ancora all'interno di \( o(x^r) \), ma ora che ci penso sono abbastanza sicuro che sia il ragionamento sbagliato da fare.
Se qualcuno potesse darmi una dritta o qualsiasi cosa, gli/le sarei molto grato.
Grazie in anticipo
EDIT:
a,b,c,d sono i coefficienti dello sviluppo di tan(x) e A,B,C,D quelli di \( x\cos(x) \); dato che sono entrambe funzioni dispari, il loro sviluppo di taylor dovrebbe avere solo potenze dispari e coefficienti reali qualsiasi, o sbaglio ? [fra l'altro dati da \( \ \frac{f^k(0)}{k!} \) se non vado errato]
stavo svolgendo questo limite con taylor:
\( \lim_{x\rightarrow 0} {\frac{x^k}{\tan(x\cos(x)- (\tan(x))\cos(\tan(x))} } \)
E ho optato per un "alto" o-piccolo quindi \( o(x^9) \), però come potete immaginare i calcoli che si vanno a fare sono decisamente lunghi e noiosi, decido quindi di tagliare dalle parentesi i termini dei polinomi troppo grossi, ma per i per i termini misti che ci sarebbero fra un termine più piccolo di \( o(x^9) \) e uno più grande, come mi devo comportare?
Vi faccio capire:
[...]+ \( bx^5(1+Ax^2+Bx^4+Cx^6+Dx^8)^5 \) + [...]+ \( o(x^9) \) , quali termini dovrei tenere e quali no? Esiste un trucco che "a occhio" o comunque più velocemente di svolgere la potenza mi fa capire cosa resterà o meno?
Da notare che io prima di pormi questo dubbio tenevo solo i termini che, elevati alla potenza esterna, fossero ancora all'interno di \( o(x^r) \), ma ora che ci penso sono abbastanza sicuro che sia il ragionamento sbagliato da fare.
Se qualcuno potesse darmi una dritta o qualsiasi cosa, gli/le sarei molto grato.
Grazie in anticipo
EDIT:
a,b,c,d sono i coefficienti dello sviluppo di tan(x) e A,B,C,D quelli di \( x\cos(x) \); dato che sono entrambe funzioni dispari, il loro sviluppo di taylor dovrebbe avere solo potenze dispari e coefficienti reali qualsiasi, o sbaglio ? [fra l'altro dati da \( \ \frac{f^k(0)}{k!} \) se non vado errato]
Risposte
ti è totalmente inutile arrestarti ad un ordine così alto. devi riuscire a capire l'ordine al quale non hai più cancellazioni di termini (ovvero dove ti rimane solo l'o-piccolo). se anche sviluppi ad un ordine più alto comunque (al di là della mole inutile di conti) ti renderai poi conto che alcuni termini potrai tralasciarli.
"cooper":
ti è totalmente inutile arrestarti ad un ordine così alto. devi riuscire a capire l'ordine al quale non hai più cancellazioni di termini (ovvero dove ti rimane solo l'o-piccolo). se anche sviluppi ad un ordine più alto comunque (al di là della mole inutile di conti) ti renderai poi conto che alcuni termini potrai tralasciarli.
Quindi per fare correttamente questo esercizio mi converrebbe iniziare dagli sviluppi "piccoli" e andare avanti fino a quando alla fine dei conti algebrici non mi resta qualcosa di diverso da o-piccolo?
Grazie della risposta cooper
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