Polinomio di taylor $(ax)^(ax)$
CIAO 
ho il limite per $x->0$ di $(x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/((a^x)-exp(x))$ con $a>0$ e $a!=e$
ora il punto è che devo calcolare il polinomio di taylor di $(ax)^(ax)$ per risolvere l'esercizio...
volevo sapere se era giusto il mio ragionamento di calcolo:
$(a^n)(b^n)= (ab)^n$ -> $(ax)^(ax)= a^(ax)x^(ax)$
considerando che $a^x= e^(xloga)$ e $x^x= e^(xlogx)$ si ottiene:
$a^(ax)=e^(axloga)$ e $x^(ax)= e^(axlogx)$ per cui :
$(ax)^(ax) = e^(axloga)e^(axlogx)$ di cui poi si vanno a fare gli sviluppi di taylor e si moltiplica.
giusto??
PS poi...vi chiedo un altra cosetta se questa è ok...
ho il limite per $x->0$ di $(x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/((a^x)-exp(x))$ con $a>0$ e $a!=e$
ora il punto è che devo calcolare il polinomio di taylor di $(ax)^(ax)$ per risolvere l'esercizio...
volevo sapere se era giusto il mio ragionamento di calcolo:
$(a^n)(b^n)= (ab)^n$ -> $(ax)^(ax)= a^(ax)x^(ax)$
considerando che $a^x= e^(xloga)$ e $x^x= e^(xlogx)$ si ottiene:
$a^(ax)=e^(axloga)$ e $x^(ax)= e^(axlogx)$ per cui :
$(ax)^(ax) = e^(axloga)e^(axlogx)$ di cui poi si vanno a fare gli sviluppi di taylor e si moltiplica.
giusto??
PS poi...vi chiedo un altra cosetta se questa è ok...
Risposte
Guarda, mamma, senza Taylor!!!
Al numeratore hai:
$x^(ax) \to 1$, $(ax)^(ax)=a^(ax)x^(ax) \to 1$, $x^a\to 0$
quindi hai la differenza di due infinitesimi, cioè $x^(ax)-(ax)^(ax)=x^(ax)(1-a^(ax))$ ed $x^a$; visto che $x^(ax) \to 1$, la parte che porta a zero il primo infinitesimo è certamente $1-a^(ax)$ che, per il limite fondamentale dell'esponenziale, è un infinitesimo d'ordine $1$; d'altra parte $x^a$ è un infinitesimo d'ordine $a$.
Al denominatore hai $a^x-e^x$ che è un infinitesimo d'ordine $1$ (si vede mettendo, ad esempio, $a^x$ in evidenza e ricordando il limite fondamentale dell'esponenziale).
Distinguiamo i casi:
1) $0
$lim_(x\to 0) (x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/(a^x-e^x)=lim_(x\to 0) (x^(ax)[1-a^(ax)]-x^a)/(a^x-e^x)=$
$\quad = lim_(x\to 0) x^a/(a^x-e^x)*((x^(ax)[1-a^(ax)])/x^a-1)$
il secondo fattore tende a $-1$, mentre il primo è rapporto di un infinitesimo d'ordine $a<1$ e di un infinitesimo d'ordine $1$ quindi è un infinito il cui segno è determinato dal segno di $x^a$ e di $a^x-e^x$; visto che $a^x-e^x<0$ a destra di $0$, il limite va a $+oo$.
2) $a=1$; in tal caso la funzione sotto segno di limite è semplicemente $x/(1-e^x)$ quindi applichi senza indugi il limite fondamentale dell'esponenziale;
3) $1
$lim_(x\to 0) (x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/(a^x-e^x)=lim_(x\to 0) x^(ax)(1-a^(ax))/(a^x-e^x)*(1-x^a/(x^(ax)[1-a^(ax)])) \quad$;
il primo ed il terzo fattore nel secondo limite convergono ad $1$, mentre il secondo fattore è il rapporto tra due infinitesimi d'ordine $1$; pertanto il limite è finito e coincide col $lim_(x\to 0)(1-a^(ax))/(a^x-e^x)$ (che ti lascio volentieri calcolare).
[size=59]3000° post sto arrivandoooooo...[/size]
Al numeratore hai:
$x^(ax) \to 1$, $(ax)^(ax)=a^(ax)x^(ax) \to 1$, $x^a\to 0$
quindi hai la differenza di due infinitesimi, cioè $x^(ax)-(ax)^(ax)=x^(ax)(1-a^(ax))$ ed $x^a$; visto che $x^(ax) \to 1$, la parte che porta a zero il primo infinitesimo è certamente $1-a^(ax)$ che, per il limite fondamentale dell'esponenziale, è un infinitesimo d'ordine $1$; d'altra parte $x^a$ è un infinitesimo d'ordine $a$.
Al denominatore hai $a^x-e^x$ che è un infinitesimo d'ordine $1$ (si vede mettendo, ad esempio, $a^x$ in evidenza e ricordando il limite fondamentale dell'esponenziale).
Distinguiamo i casi:
1) $0
$lim_(x\to 0) (x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/(a^x-e^x)=lim_(x\to 0) (x^(ax)[1-a^(ax)]-x^a)/(a^x-e^x)=$
$\quad = lim_(x\to 0) x^a/(a^x-e^x)*((x^(ax)[1-a^(ax)])/x^a-1)$
il secondo fattore tende a $-1$, mentre il primo è rapporto di un infinitesimo d'ordine $a<1$ e di un infinitesimo d'ordine $1$ quindi è un infinito il cui segno è determinato dal segno di $x^a$ e di $a^x-e^x$; visto che $a^x-e^x<0$ a destra di $0$, il limite va a $+oo$.
2) $a=1$; in tal caso la funzione sotto segno di limite è semplicemente $x/(1-e^x)$ quindi applichi senza indugi il limite fondamentale dell'esponenziale;
3) $1
$lim_(x\to 0) (x^(ax)-(ax)^(ax)-x^a)/(a^x-e^x)=lim_(x\to 0) x^(ax)(1-a^(ax))/(a^x-e^x)*(1-x^a/(x^(ax)[1-a^(ax)])) \quad$;
il primo ed il terzo fattore nel secondo limite convergono ad $1$, mentre il secondo fattore è il rapporto tra due infinitesimi d'ordine $1$; pertanto il limite è finito e coincide col $lim_(x\to 0)(1-a^(ax))/(a^x-e^x)$ (che ti lascio volentieri calcolare).
[size=59]3000° post sto arrivandoooooo...
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