Polinomio di taylor
Ciao a tutti!!!
avrei un problema con questo esercizio...
Calcolare un valore approssimato di $root(3)(9)$ utilizzando il polinomio di Taylor di centro 8 e ordine 3 della funzione $f(x) = root(3)(x)$. Fornire una stima dell'errore commesso nell'approssimazione.
Per il primo punto non ci sono problemi, infatti ottengo:
$2+(x-8)/12-(x^2-16x+64)/288+(5(x^3-24x^2+192x-512))/20736$ che mi da dopo alcuni calcoli come valore approssimato di $root(3)(9)$ $ = $ $2,08$.
Ora come dovrei fare, invece, per il secondo punto?
grazie mille anticipatamente...
avrei un problema con questo esercizio...
Calcolare un valore approssimato di $root(3)(9)$ utilizzando il polinomio di Taylor di centro 8 e ordine 3 della funzione $f(x) = root(3)(x)$. Fornire una stima dell'errore commesso nell'approssimazione.
Per il primo punto non ci sono problemi, infatti ottengo:
$2+(x-8)/12-(x^2-16x+64)/288+(5(x^3-24x^2+192x-512))/20736$ che mi da dopo alcuni calcoli come valore approssimato di $root(3)(9)$ $ = $ $2,08$.
Ora come dovrei fare, invece, per il secondo punto?
grazie mille anticipatamente...
Risposte
Puoi scrivere l'errore in forma di Lagrange e maggiorarlo, ad esempio.
mmh!!
quindi il resto di Lagrange è:
$(f^(n+1)(c_x))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$
che nel mio caso diventa:
$(-80/(81root(3)(x^11)))/(4!)(x-8)^4$
non credo è solo che non so come interpretare quel $c_x$...
quindi il resto di Lagrange è:
$(f^(n+1)(c_x))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$
che nel mio caso diventa:
$(-80/(81root(3)(x^11)))/(4!)(x-8)^4$
non credo è solo che non so come interpretare quel $c_x$...
Tu hai $x_0 = 8$, $x=9$, dunque $c_x \in (8,9)$; tieni conto che quel resto lo devi solo ragionevolmente maggiorare, non lo devi calcolare esattamente.
non riesco a capire, cioè $c_x in (8, 9)$ ok quindi devo sostituire a $c_x$ $9$ ???
Allora, il tuo resto è
\[ R_4 = -\frac{80}{24\cdot 81 c_x^{11/3}}. \]
Andiamo a maggiorarlo, sapendo che $c_x\in (8,9)$:
\[ |R_4| \leq \frac{10}{243} \cdot \frac{1}{c_x^{11/3}} \leq \frac{10}{243} \cdot \frac{1}{8^{11/3}} = \frac{10}{243\cdot 2^{11}} .\]
(Controlla i conti, non garantisco.)
\[ R_4 = -\frac{80}{24\cdot 81 c_x^{11/3}}. \]
Andiamo a maggiorarlo, sapendo che $c_x\in (8,9)$:
\[ |R_4| \leq \frac{10}{243} \cdot \frac{1}{c_x^{11/3}} \leq \frac{10}{243} \cdot \frac{1}{8^{11/3}} = \frac{10}{243\cdot 2^{11}} .\]
(Controlla i conti, non garantisco.)
Ahhhhhh!!!
ok ok... quindi mi calcolo $R_(n+1)$ e poi trovo una maggiorazione.
quindi vediamo se ho capito, se adesso volessi fare lo stesso esercizio con:
$f(x) = root(2)(x)$ con ordine $n = 3$ e $x_0=1$ e volessi usare il polinomio per approssimare $root(2)(1,5)$
ottengo il polinomio:
$(x^3-5x^2+15x+5)/16$
che approssima $sqrt(1.5)$ $ = $ $1.2265625$
a questo punto se volessi dare una stima dell'errore commesso, dovrei procedere in questo modo:
calcolo $R_4 = -5/(2048 (c_x)^(7/2))$
e, sapendo che $c_x in (1, 1.5)$ vado a maggiorare nel seguente modo:
$|R_4|<=5/2048 * 1/(c_x)^(7/2)<=5/2048 * 1/(1^(7/2)) = 5/2048$
giusto??
spero tanto di si!!!
ok ok... quindi mi calcolo $R_(n+1)$ e poi trovo una maggiorazione.
quindi vediamo se ho capito, se adesso volessi fare lo stesso esercizio con:
$f(x) = root(2)(x)$ con ordine $n = 3$ e $x_0=1$ e volessi usare il polinomio per approssimare $root(2)(1,5)$
ottengo il polinomio:
$(x^3-5x^2+15x+5)/16$
che approssima $sqrt(1.5)$ $ = $ $1.2265625$
a questo punto se volessi dare una stima dell'errore commesso, dovrei procedere in questo modo:
calcolo $R_4 = -5/(2048 (c_x)^(7/2))$
e, sapendo che $c_x in (1, 1.5)$ vado a maggiorare nel seguente modo:
$|R_4|<=5/2048 * 1/(c_x)^(7/2)<=5/2048 * 1/(1^(7/2)) = 5/2048$
giusto??
spero tanto di si!!!
Salvo errori nei calcoli il procedimento mi sembra corretto.
Ok ok!!!
alla fine è il procedimento che mi interessa...
Grazie mille sei stato gentilissimo...
alla fine è il procedimento che mi interessa...
Grazie mille sei stato gentilissimo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo