Polinomio di Taylor
raga devo farvi una domanda prettamente teorica, allora:
perchè nel polinomio di taylor si va a dividere la derivata k-sima ogni volta per il fattoriale di k corrispondente...non sono riuscito a coglierne il motivo anche se ho seguito attentamente la spiegazione del prof e poi, l'unica differenza tra il polinomio di taylor e la serie di taylor e che la serie a come k infinito???
perchè nel polinomio di taylor si va a dividere la derivata k-sima ogni volta per il fattoriale di k corrispondente...non sono riuscito a coglierne il motivo anche se ho seguito attentamente la spiegazione del prof e poi, l'unica differenza tra il polinomio di taylor e la serie di taylor e che la serie a come k infinito???
Risposte
"Riuzaki":
raga devo farvi una domanda prettamente teorica, allora:
perchè nel polinomio di taylor si va a dividere la derivata k-sima ogni volta per il fattoriale di k corrispondente...non sono riuscito a coglierne il motivo anche se ho seguito attentamente la spiegazione del prof e poi, l'unica differenza tra il polinomio di taylor e la serie di taylor e che la serie a come k infinito???
Una funzione può essere definita attraverso le serie. Cioè si può scrivere
Il polinomio di Taylor si ottiene troncando la serie di Taylor al termine k-esimo. E si ha:
$f(x) = P_k (x) + R_k (x)$
Laddove $P_k (x)$ è il polinomio di Taylor di ordine $k$, mentre $R_k (x)$ è il resto k-esimo.
@Riuzaki: Per prima cosa ti segnalo che
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perchè nel polinomio di taylor si va a dividere la derivata k-sima ogni volta per il fattoriale di ksemplice: quel fattoriale serve a far sì che la derivata $k$-esima del polinomio sia uguale in $x_0$ (centro dello sviluppo) alla derivata $k$-esima della funzione. Fai un paio di calcoli e te ne renderai conto.
"Seneca":
[quote="Riuzaki"]raga devo farvi una domanda prettamente teorica, allora:
perchè nel polinomio di taylor si va a dividere la derivata k-sima ogni volta per il fattoriale di k corrispondente...non sono riuscito a coglierne il motivo anche se ho seguito attentamente la spiegazione del prof e poi, l'unica differenza tra il polinomio di taylor e la serie di taylor e che la serie a come k infinito???
Una funzione può essere definita attraverso le serie. Cioè si può scrivere
Il polinomio di Taylor si ottiene troncando la serie di Taylor al termine k-esimo. E si ha:
$f(x) = P_k (x) + R_k (x)$
Laddove $P_k (x)$ è il polinomio di Taylor di ordine $k$, mentre $R_k (x)$ è il resto k-esimo.[/quote]
Ciò non è sbagliato, tuttavia non coglie una parte essenziale della differenza tra serie e polinomio di Taylor.
Invero, la serie di Taylor si può scrivere solo per funzioni indefinitamente derivabili in [tex]$x_0$[/tex] (poiché hai bisogno di tutte le derivate in [tex]$x_0$[/tex] per formare la successione dei coefficienti), mentre il polinomio di Taylor di grado [tex]$k$[/tex] si può scrivere per funzioni che hanno anche solo [tex]$k$[/tex] derivate in [tex]$x_0$[/tex]; e come sai le funzioni derivabili solo [tex]$k$[/tex] volte in [tex]$x_0$[/tex] sono "molte di più" rispetto a quelle indefinitamente derivabili in [tex]$x_0$[/tex].
Sì... Mi sono reso conto d'aver immancabilmente glissato.
Come sempre Gugo è stato molto più esauriente.
Come sempre Gugo è stato molto più esauriente.
ok ora mi è molto più chiaro anche se ancora non riesco ad immaginare come possa un polinomio riuscire ad acquisire seppure in un limitato intervallo lo stesso grafico della funzione....e poi per il fatto del resto???
io ho capito che la differenza della funzione in (x) meno la retta del polinomio di taylor di primo grado nello stesso punto, è di un infinitesimo superiore a (x --> x + h) nel senso che tende a zero più velocemente perchè nel primo caso è una differenza tra due moduli uguali...o sbaglio??
io ho capito che la differenza della funzione in (x) meno la retta del polinomio di taylor di primo grado nello stesso punto, è di un infinitesimo superiore a (x --> x + h) nel senso che tende a zero più velocemente perchè nel primo caso è una differenza tra due moduli uguali...o sbaglio??
Se vuoi avere un'idea visiva traccia. o meglio fai tracciare, il grafico a un programma tipo Derive di queste funzioni
$y=sin x $
$y=x$
$y=x-x^3/6$
etc .
e osservale nell'intorno di $x=0 $ .
$y=sin x $
$y=x$
$y=x-x^3/6$
etc .
e osservale nell'intorno di $x=0 $ .
si camillo ho già fatto tanti di questi tentativi...il fatto è che io della matematica non accetto nulla come dogma ma voglio cercare di capire...
vorrei sapere da qualcuno di voi se possibile qual'è il motivo per cui il polinomio si comporta cosi ??
vorrei sapere da qualcuno di voi se possibile qual'è il motivo per cui il polinomio si comporta cosi ??
"Riuzaki":
si camillo ho già fatto tanti di questi tentativi...il fatto è che io della matematica non accetto nulla come dogma ma voglio cercare di capire...
In sostanza, il polinomio si comporta così perchè tu vuoi che si comporti così.
In breve, lo costruisci ad hoc perchè approssimi una funzione data in un intorno di un punto del dominio. Ovviamente esiste una dimostrazione rigorosa di questo fatto, noi l'abbiamo vista a lezione (per polinomi sia con resto di Peano che con resto di Lagrange).
Non è difficile, prova a guardare su qualche libro o su internet. Se non la trovi, dimmelo, la riscrivo io qua sul forum (il che non mi farebbe male, visto che tanto devo studiarla...
).
si lo letto sul mio libro...scrivila comunque che non fa mai male sentire voci diverse...
P.S. cosa studi?? io informatica primo anno...
P.S. cosa studi?? io informatica primo anno...
Dunque, per cominciare diamo la seguente
Definizione. Dati $I$ (intervallo) aperto di $RR$, $x_0$ un punto di $I$ e $f:I->RR$ una funzione derivabile $n$ volte in un intorno di $x_0$, si dice polinomio di Taylor di $f$ di ordine $n$ centrato in $x_0$ il polinomio
$T_(f,x_0,n)(x):=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$
dove si pone $f^0(x_0)=f(x_0)$.
Lemma.
$T'_(f,x_0,n)(x)=T_(f',x_0,n-1)(x)$.
Dim del lemma. La lascio a te, non è difficile, si tratta solo di lavorare con calma sugli indici delle sommatorie e capire quello che succede, ma sono praticamente solo conti.
Ciò che a noi interessa è far vedere che quel polinomio "piovuto dal cielo" è quello che fa al caso nostro, cioè approssima bene $f$ vicino a $x_0$. Traduciamo in linguaggio matematico: che cosa significa approssimare $f$ con un polinomio? Significa che la differenza tra $f$ e il polinomio approssimatore è piccola quanto vogliamo, no? Detto altrimenti, per $x->x_0$ la differenza è infinitesima di ordine $n$ rispetto al campione standard.
Bene, in formule si ha che
[tex]\boxed{f(x)-T_{f,x_{0},n}(x)=o((x-x_o)^{n})}$[/tex]. (*)
Questo è ciò che dobbiamo dimostrare. L'idea è quella di procedere per induzione.
Per $n=1$ è vera (*) (approssimi una funzione con la retta tangente: vedi la definizione di differenziabilità di una funzione).
Supponiamo allora che la tesi sia vera all'ordine $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi (bada bene: non fissi la funzione, l'ipotesi induttiva ti dice che la tesi vale per $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi).
Hp induttiva: $f(x)-T_(f,x_0,n-1)(x)= o((x-x_0)^(n-1))$.
E' facile concludere a questo punto, basta il teorema di De l'Hopital: si ha
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_(f,x_0,n)(x))/(x-x_0)^n=lim_(x->x_0) (f'(x)-T'_(f,x_0,n)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))=lim_(x->x_0) (f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))$, dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal lemma precedente.
Per l'hp induttiva applicata a $f'$ (ecco perchè era bene precisare che non stavamo lavorando con una funzione fissata) abbiamo che $f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x)= o((x-x_0)^(n-1))$: perciò il limite proposto sopra vale $0$.
$lim_(x->x_0) (f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))=0$. []
Se hai dubbi o vuoi ulteriori delucidazioni, sono qui. Buono studio.
P.S. Studio Matematica, anche io al primo anno.
Definizione. Dati $I$ (intervallo) aperto di $RR$, $x_0$ un punto di $I$ e $f:I->RR$ una funzione derivabile $n$ volte in un intorno di $x_0$, si dice polinomio di Taylor di $f$ di ordine $n$ centrato in $x_0$ il polinomio
$T_(f,x_0,n)(x):=sum_(k=0)^(n)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$
dove si pone $f^0(x_0)=f(x_0)$.
Lemma.
$T'_(f,x_0,n)(x)=T_(f',x_0,n-1)(x)$.
Dim del lemma. La lascio a te, non è difficile, si tratta solo di lavorare con calma sugli indici delle sommatorie e capire quello che succede, ma sono praticamente solo conti.
Ciò che a noi interessa è far vedere che quel polinomio "piovuto dal cielo" è quello che fa al caso nostro, cioè approssima bene $f$ vicino a $x_0$. Traduciamo in linguaggio matematico: che cosa significa approssimare $f$ con un polinomio? Significa che la differenza tra $f$ e il polinomio approssimatore è piccola quanto vogliamo, no? Detto altrimenti, per $x->x_0$ la differenza è infinitesima di ordine $n$ rispetto al campione standard.
Bene, in formule si ha che
[tex]\boxed{f(x)-T_{f,x_{0},n}(x)=o((x-x_o)^{n})}$[/tex]. (*)
Questo è ciò che dobbiamo dimostrare. L'idea è quella di procedere per induzione.
Per $n=1$ è vera (*) (approssimi una funzione con la retta tangente: vedi la definizione di differenziabilità di una funzione).
Supponiamo allora che la tesi sia vera all'ordine $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi (bada bene: non fissi la funzione, l'ipotesi induttiva ti dice che la tesi vale per $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi).
Hp induttiva: $f(x)-T_(f,x_0,n-1)(x)= o((x-x_0)^(n-1))$.
E' facile concludere a questo punto, basta il teorema di De l'Hopital: si ha
$lim_(x->x_0) (f(x)-T_(f,x_0,n)(x))/(x-x_0)^n=lim_(x->x_0) (f'(x)-T'_(f,x_0,n)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))=lim_(x->x_0) (f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))$, dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal lemma precedente.
Per l'hp induttiva applicata a $f'$ (ecco perchè era bene precisare che non stavamo lavorando con una funzione fissata) abbiamo che $f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x)= o((x-x_0)^(n-1))$: perciò il limite proposto sopra vale $0$.
$lim_(x->x_0) (f'(x)-T_(f',x_0,n-1)(x))/(n(x-x_0)^(n-1))=0$. []
Se hai dubbi o vuoi ulteriori delucidazioni, sono qui. Buono studio.
P.S. Studio Matematica, anche io al primo anno.
"Paolo90":
Supponiamo allora che la tesi sia vera all'ordine $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi (bada bene: non fissi la funzione, l'ipotesi induttiva ti dice che la tesi vale per $n-1$ per tutte le funzioni che soddisfano le ipotesi).
La cosa che sembra più importante è notare che se $f$ è derivabile $n$ volte intorno a $x_0$, allora $f$ è certamente derivabile $n-1$ volte intorno a $x_0$; da ciò segue che l'ipotesi induttiva vale per ogni funzione derivabile $n$ volte intorno a $x_0$.
quindi scusate un attimo da questo capisco che se derivo una funzione n volte ottengo una retta parallela alle ascisse???
"Riuzaki":
quindi scusate un attimo da questo capisco che se derivo una funzione n volte ottengo una retta parallela alle ascisse???
Non ho capito.
se derivo n volte una funzione ottengo una costante....
Scusa se mi permetto, ma penso che sia richiesto un minimo di sforzo da parte di chi scrive (e non di chi legge) per farsi capire.
1. Chi è $n$?
2. Ciò che scrivi non ha senso e basta ragionare un attimo per capacitarsene: $f: RR->RR$ definita da $f(x)=x^3$. La derivi due volte: $f''(x)=6x$ che non è costante. Ancora: $f(x)= sinx$ su tutto $RR$: le sue derivate sono tutte seni e coseni con opportuni segni e, quindi, non sono mai costanti.
Che cosa vuoi dire? Che cosa intendi? Spiegati meglio, per cortesia. Qualche altro utente riesce a capire ciò che Riuzaki intende?
1. Chi è $n$?
2. Ciò che scrivi non ha senso e basta ragionare un attimo per capacitarsene: $f: RR->RR$ definita da $f(x)=x^3$. La derivi due volte: $f''(x)=6x$ che non è costante. Ancora: $f(x)= sinx$ su tutto $RR$: le sue derivate sono tutte seni e coseni con opportuni segni e, quindi, non sono mai costanti.
Che cosa vuoi dire? Che cosa intendi? Spiegati meglio, per cortesia. Qualche altro utente riesce a capire ciò che Riuzaki intende?
Forse lui intende che derivando $n$ volte un polinomio di Taylor di ordine $n$ si ottiene una funzione costante. Mi sembra un risultato scontato, visto che naturalmente la derivazione abbassa il grado del polinomio che si sta derivando.
proprio questo dicevo io:
Forse lui intende che derivando volte un polinomio di Taylor di ordine si ottiene una funzione costante. Mi sembra un risultato scontato, visto che naturalmente la derivazione abbassa il grado del polinomio che si sta derivando.
ma non mi sono spiegato....
tutto ciò che può essere scontato per una persona può non esserlo per un'altra ricordalo XD
Forse lui intende che derivando volte un polinomio di Taylor di ordine si ottiene una funzione costante. Mi sembra un risultato scontato, visto che naturalmente la derivazione abbassa il grado del polinomio che si sta derivando.
ma non mi sono spiegato....
tutto ciò che può essere scontato per una persona può non esserlo per un'altra ricordalo XD
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