Polinomio di Taylor
Ciao! ho appena studiato il polinomio di Taylor,
ho capito che cos'è e come si calcola (anche quello di Mc Laurin).
peccato che non abbia capito a cosa serve[:I]!
so che può essere utile per la risoluzione di limiti indeterminati...
potreste darmi una dritta? qualche informazione in più?!
grazie mille! FURY
ho capito che cos'è e come si calcola (anche quello di Mc Laurin).
peccato che non abbia capito a cosa serve[:I]!
so che può essere utile per la risoluzione di limiti indeterminati...
potreste darmi una dritta? qualche informazione in più?!
grazie mille! FURY
Risposte
A parte l'uso nel calcolo di limiti, la cosa importante è che puoi approssimare una funzione, anche complicata con dei polinomi, che sono le funzioni più semplici da usare, calcolare etc.
Naturalmente l'approssimazione è tanto migliore quanti più termini calcoli nello sviluppo.
Si può calcolare e quindi prevedere dove fermarsi in un certo sviluppo in funzione della precisione che si vuole.
La cosa migliore per capire è comunque che tu faccia un grafico ad es. di y=sinx e anche del suo sviluppo di McLaurin fino al secondo termine , cioè di x-x^3/6 e vedere come le due funzioni si " sovrappongono" in un intorno di 0; poi puoi provare a fare il grafico dello sviluppo calcolando più termini e vedere come si adatti sempre meglio al grafico di sinx.
Un'altra funzione che può essere interessante rappresentare è : e^x insieme al suo sviluppo di McLaurin :1+x+x^2/2 .
Camillo
Naturalmente l'approssimazione è tanto migliore quanti più termini calcoli nello sviluppo.
Si può calcolare e quindi prevedere dove fermarsi in un certo sviluppo in funzione della precisione che si vuole.
La cosa migliore per capire è comunque che tu faccia un grafico ad es. di y=sinx e anche del suo sviluppo di McLaurin fino al secondo termine , cioè di x-x^3/6 e vedere come le due funzioni si " sovrappongono" in un intorno di 0; poi puoi provare a fare il grafico dello sviluppo calcolando più termini e vedere come si adatti sempre meglio al grafico di sinx.
Un'altra funzione che può essere interessante rappresentare è : e^x insieme al suo sviluppo di McLaurin :1+x+x^2/2 .
Camillo
camillo, non potresti spiegarmi come si usa nel calcolo dei limiti? Please!!!!
Questo è un po' più lungo da spiegare e data l'ora sarà meglio rimandarlo a domani.
Dovresti però conoscere cosa sono gli infinitesimi..
In parole povere , molto semplicemente tu approssimi ( a meno di infinitesimi di ordine superiore )le funzioni che hai nel tuo limite con polinomi e quindi ti riduci al calcolo di un limite che si presenta sotto forma di rapporto di polinomi, molto più facile da gestire.
Possiamo ritrovare dei limiti notevoli :
*lim per x che tende a 0 di sinx/x = 1 ; sviluppo sinx come x , fermandomi al primo termine e ottengo il limite x/x che ovviamnete tende a 1.
* lim per x che tende a 0 di (1-cosx)/x^2 che sappiamo valere : 1/2,
sviluppo cos x come 1-x^2/2, sostituisco nel limite e ottengo :
(1-1+x^2/2)/x^2 che vale 1/2
* lim per x che tende a 0 di (e^x-1)/x che vale 1 , approssimo e^x con il suo sviluppo troncato al secondo termine( sempre a meno di infinitesimi di ordine superiore o come si chiamano di o piccoli, in questo caso o(x)) : 1+x e ottengo il limite
1+x-1)/x che ovviamnet vale 1.
Naturalmente servono per limiti assai più complicati ..
La difficoltà maggiore è saper determinare a che termine fermarsi nello sviluppo, ci vuole occhio...
Camillo
Dovresti però conoscere cosa sono gli infinitesimi..
In parole povere , molto semplicemente tu approssimi ( a meno di infinitesimi di ordine superiore )le funzioni che hai nel tuo limite con polinomi e quindi ti riduci al calcolo di un limite che si presenta sotto forma di rapporto di polinomi, molto più facile da gestire.
Possiamo ritrovare dei limiti notevoli :
*lim per x che tende a 0 di sinx/x = 1 ; sviluppo sinx come x , fermandomi al primo termine e ottengo il limite x/x che ovviamnete tende a 1.
* lim per x che tende a 0 di (1-cosx)/x^2 che sappiamo valere : 1/2,
sviluppo cos x come 1-x^2/2, sostituisco nel limite e ottengo :
(1-1+x^2/2)/x^2 che vale 1/2
* lim per x che tende a 0 di (e^x-1)/x che vale 1 , approssimo e^x con il suo sviluppo troncato al secondo termine( sempre a meno di infinitesimi di ordine superiore o come si chiamano di o piccoli, in questo caso o(x)) : 1+x e ottengo il limite
1+x-1)/x che ovviamnet vale 1.Naturalmente servono per limiti assai più complicati ..
La difficoltà maggiore è saper determinare a che termine fermarsi nello sviluppo, ci vuole occhio...
Camillo
comunque ci si ferma al grado del massimo presente nel limite?!
anche perchè nell'intorno del punto di accumulazione il polinomio
è osculatore rispetto alla g(x) che si vuole sostituire! quindi
non è necessario sviluppare fino ad un grado tanto elevato! credo!
allora penso di aver capito!!! Grazie mille!!!! [:)]
anche perchè nell'intorno del punto di accumulazione il polinomio
è osculatore rispetto alla g(x) che si vuole sostituire! quindi
non è necessario sviluppare fino ad un grado tanto elevato! credo!
allora penso di aver capito!!! Grazie mille!!!! [:)]
Per qualche maggiore informazione su dove ci si deve fermare nello svluppo guarda qui :
https://www.matematicamente.it/forum/top ... IC_ID=5713
Camillo
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Camillo
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