Polinomio di taylor

[ludovica.sarandrea]

Buonasera,
ho un dubbio riguardo l'utilizzo del polinomio di taylor per le stime asintotiche. Mi spiego meglio:
Mi sto imbattendo nelle serie e in particolare nello studio del carattere di una serie.
Quando ho studiato la convergenza degli integrali in cui avevo ad esempio x->0 era tutto chiaro, infatti nel caso ad esempio in cui avessi $ln(x+1)$ questo era asintoticamente equivalente ad $x$ perche' $ln(x+1)~x$
Ma nel caso in cui ho $x->oo$ come dovrei comportarmi? Quando e' che posso fare un ragionamento del genere e quando invece no?
Ad esempio nel caso della sommatoria di $1/ln(n+1)$ lo svolgimento dell'esercizio lo sostituisce con $1/n$

[Anacleto13]

Per $xtoinfty$ puoi riscrivere $log(1+x)$ come $log(x)$ a volte torna utile nello svolgimento degli es.

[Seneca1]

"ludovica_97":Ad esempio nel caso della sommatoria di $1/ln(n+1)$ lo svolgimento dell'esercizio lo sostituisce con $1/n$

Dalla disuguaglianza $ln(n + 1) \le n$ si ottiene che $1/n \le 1/(ln(n+1))$. Pertanto, siccome la serie $\sum 1/(ln(n+1))$ è minorata dalla serie $\sum 1/n$ che è divergente, anche $\sum 1/(ln(n+1))$ sarà divergente (a fortiori).

Chiaramente $1/n$ non è asintoticamente equivalente a $1/ln(n+1)$ per $n -> +oo$. Se vuoi utilizzare con la consueta notazione asintotica puoi scrivere $1/n = O (1/(ln(n+1)))$.

[ludovica.sarandrea]

Se io avessi ad esempio questa serie: $\sum (sin(1/n))/(n(n+1))$ potrei sostituire $sin(1/n)$ con $1/n$?? perche' per $n->oo$ $1/n->0$