Polinomio di Taylor
Ciao, qualcuno mi spiega passaggio per passaggio perché la soluzione è questa?
Trovare il polinomio di Taylor del V ordine centrato in x0 = 0 di f(x) = (log(2 + x^2))^2. SOLUZIONE:
= ((log2+ log (1+x^2/2))^2 =
= log2 + x^2/2 - x^4/8 + o(x^5))^2=
= log^2(2) + log(2)x^2 + x^4 -log(2)x^4/4 + o(x^5)
Trovare il polinomio di Taylor del V ordine centrato in x0 = 0 di f(x) = (log(2 + x^2))^2. SOLUZIONE:
= ((log2+ log (1+x^2/2))^2 =
= log2 + x^2/2 - x^4/8 + o(x^5))^2=
= log^2(2) + log(2)x^2 + x^4 -log(2)x^4/4 + o(x^5)
Risposte
ciao Fede
Allora scriviamo meglio il tutto
$y=(log(2+x^2))^2$
formula di Taylor centrata in x=0, direi quindi formula di McLaurin
$f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/(3!)f'''(0)+...$
anzitutto
$f(0)=(log 2)^2$
quindi il primo termine torna... bene... deriviamo!
$f'(x)=(4xlog(2+x^2))/(x^2+2)$
e abbiamo
$f'(0)=0$
deriviamo ancora
$f''(x)=(4(2-x^2)log(2+x^2))/((2+x^2)^2)$
e abbiamo
$f''(0)=2log2$
quindi finora
$f(x)=(log2)^2+0+x^2log2+...$
finora tutto giusto!!! ora bisognerebbe derivare ancora un paio di volte per verificare che i termini in $x^3$ e in $x^4$ siano quelli che scrivi tu... sinceramente per me è troppo... riesci a farcela tu?
ciao!
Allora scriviamo meglio il tutto
$y=(log(2+x^2))^2$
formula di Taylor centrata in x=0, direi quindi formula di McLaurin
$f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/(3!)f'''(0)+...$
anzitutto
$f(0)=(log 2)^2$
quindi il primo termine torna... bene... deriviamo!
$f'(x)=(4xlog(2+x^2))/(x^2+2)$
e abbiamo
$f'(0)=0$
deriviamo ancora
$f''(x)=(4(2-x^2)log(2+x^2))/((2+x^2)^2)$
e abbiamo
$f''(0)=2log2$
quindi finora
$f(x)=(log2)^2+0+x^2log2+...$
finora tutto giusto!!! ora bisognerebbe derivare ancora un paio di volte per verificare che i termini in $x^3$ e in $x^4$ siano quelli che scrivi tu... sinceramente per me è troppo... riesci a farcela tu?
ciao!
Ok grazie, é un po' più chiaro. Ma continuo a non capire la prima riga della soluzione. Come si ci si arriva?
Il resto invece l'ho capito.
Ah comunque dovrei arrivare fino alla derivata quinta giusto?
Il resto invece l'ho capito.
Ah comunque dovrei arrivare fino alla derivata quinta giusto?
derivi fino alla quarta potenza
poi per la tua prima riga tieni conto che
$2+x^2=2(1+x^2/2)$
quindi
$log(2+x^2)=log(2(1+x^2/2))=log2+log(1+x^2/2)$
poi per la tua prima riga tieni conto che
$2+x^2=2(1+x^2/2)$
quindi
$log(2+x^2)=log(2(1+x^2/2))=log2+log(1+x^2/2)$
Perdonami se insisto su questa cosa ma devo chiederti conferma. Quindi se mi chiede il polinomio di Taylor di grado 5 mi fermo alla derivata quarta? Non è che magari in questo esercizio la derivata quinta viene uguale a zero e quindi non compare nel risultato?
Se ti chiedono un polinomio di taylor di quinto grado arrivi fino al terine $x^5$ cioè alla derivata quinta
Vedendo che il risultato arrivava fino alla derivata quarta ti dicevo di derivare ancora una terza e una quarta volta
aspetta... vedendo il risultato del tuo libro... applica un artificio in modo da non fare tanta fatica a fare quelle derivate (fare la derivata seconda mi ha fatto perdere 10 minuti... figurati la terza e la quarta)
hai capito qual è l'artificio??
Vedendo che il risultato arrivava fino alla derivata quarta ti dicevo di derivare ancora una terza e una quarta volta
aspetta... vedendo il risultato del tuo libro... applica un artificio in modo da non fare tanta fatica a fare quelle derivate (fare la derivata seconda mi ha fatto perdere 10 minuti... figurati la terza e la quarta)
hai capito qual è l'artificio??
Ok gentilissimo. Ciao e grazie!
aspetta... vedendo il risultato del tuo libro... applica un artificio in modo da non fare tanta fatica a fare quelle derivate (fare la derivata seconda mi ha fatto perdere 10 minuti... figurati la terza e la quarta)
hai capito qual è l'artificio??
hai capito qual è l'artificio??
ti do un suggerimento
uno sviluppo in serie "famoso" è
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...$
adesso mettiamo meglio la tua funzione
$(log(2+x^2))^2=(log2+log(1+x^2/2))^2$
come ti scrivevo un paio di post sopra...
ora semplicemente applica lo sviluppo in serie famoso e ottieni la seconda e la terza riga che proponevi tu all'inizio senza gli enormi sforzi di derivazione che incontri se applichi il metodo brutale che ti avevo suggerito io inizialmente
uno sviluppo in serie "famoso" è
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+...$
adesso mettiamo meglio la tua funzione
$(log(2+x^2))^2=(log2+log(1+x^2/2))^2$
come ti scrivevo un paio di post sopra...
ora semplicemente applica lo sviluppo in serie famoso e ottieni la seconda e la terza riga che proponevi tu all'inizio senza gli enormi sforzi di derivazione che incontri se applichi il metodo brutale che ti avevo suggerito io inizialmente
Grazie del suggerimento, però a questo punto non capisco come è passato dalla seconda alla terza riga della soluzione..
Potresti spiegarmelo?
Potresti spiegarmelo?
Allora mi è venuto ma neanche io so come.. XD
Praticamente ho fatto il quadrato del trinomio log2 + x^2/2 - x^4/8 ( e ho quindi trascurato o(x^5))
Svolgendo i calcoli ho eliminato tutte le potenze superiori a 5 e poi miracolosamente viene. è questo il metodo corretto?
Praticamente ho fatto il quadrato del trinomio log2 + x^2/2 - x^4/8 ( e ho quindi trascurato o(x^5))
Svolgendo i calcoli ho eliminato tutte le potenze superiori a 5 e poi miracolosamente viene. è questo il metodo corretto?
esatto!
ricapitolando i metodi sono due...
1) quello che ho usato inizialmente io... sviluppo in serie "burino" facendo tutte le derivate
2) quello che ha usato il tuo libro... metti meglio la funzione da sviluppare e sfrutti uno sviluppo in serie "notevole" che teoricamente dovresti conoscere già
ciao!
ricapitolando i metodi sono due...
1) quello che ho usato inizialmente io... sviluppo in serie "burino" facendo tutte le derivate
2) quello che ha usato il tuo libro... metti meglio la funzione da sviluppare e sfrutti uno sviluppo in serie "notevole" che teoricamente dovresti conoscere già
ciao!
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