Polinomio di McLaurin al quarto ordine
Salve a tutti,sono alle prese con le funzioni implicite e in un esercizio mi si chiede: Dopo aver dimostrato che la $zx^3(sinx)+y^2(cos(yz)-1)+z=0$ definisce implicitamente un'unica funzione $z=f(x,y)$ in un intorno dell'origine,calcolarne il polinomio di McLaurin al quarto ordine in (0;0).
dopo aver verificato che la funzione può essere scritta come $z=f(x,y)$ io dovrei porre $z=z(x;y)$ e poi calcolare tutte le derivate,essendo un processo abbastanza lungo vorrei sapere se esiste un metodo più immediato per trovare il polinomio di ML al quarto ordine...help!!
dopo aver verificato che la funzione può essere scritta come $z=f(x,y)$ io dovrei porre $z=z(x;y)$ e poi calcolare tutte le derivate,essendo un processo abbastanza lungo vorrei sapere se esiste un metodo più immediato per trovare il polinomio di ML al quarto ordine...help!!
Risposte
ti propongo un esempio in una dimensione in meno per farti capire come funziona e poi lo generalizzo a dimensione n.
$cosx sin(x+y)-y^2 sinx =0$ e vogliamo lo sviluppo al terzo ordine
sappiamo che $y=phi(x) in C^(oo)$ e quindi esistono le costanti $a,b,c in RR : phi(x)=ax+bx^2+cx^3+o(x^3)$
ora lo sostituisci in f (cioè fai $f(x,phi(x))=0$) e sviluppi fino al terzo ordine. a questo punto arrivi ad una identità tra polinomi e basta che risolvi il sistema associato per trovare il valore delle costanti.
il discorso è più astruso solo perchè la forma del polinomio di Taylor in più dimensioni è più complicata: $1/n! sum_(l=0)^(n)((n),(l))(partial^n f(x_0,y_0)/(partial^(n-l)partial^l)) h^(n-l)k^l$ con $h=x-x_0 ^^ k=y-y_0$
di tutta questa roba però a noi interessa solo come siano fatti i termini h,k perchè il resto sono le nostre costanti
$cosx sin(x+y)-y^2 sinx =0$ e vogliamo lo sviluppo al terzo ordine
sappiamo che $y=phi(x) in C^(oo)$ e quindi esistono le costanti $a,b,c in RR : phi(x)=ax+bx^2+cx^3+o(x^3)$
ora lo sostituisci in f (cioè fai $f(x,phi(x))=0$) e sviluppi fino al terzo ordine. a questo punto arrivi ad una identità tra polinomi e basta che risolvi il sistema associato per trovare il valore delle costanti.
il discorso è più astruso solo perchè la forma del polinomio di Taylor in più dimensioni è più complicata: $1/n! sum_(l=0)^(n)((n),(l))(partial^n f(x_0,y_0)/(partial^(n-l)partial^l)) h^(n-l)k^l$ con $h=x-x_0 ^^ k=y-y_0$
di tutta questa roba però a noi interessa solo come siano fatti i termini h,k perchè il resto sono le nostre costanti
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