Polinomio di Mc Laurin
Salve a tutti, vorrei che mi aiutaste con alcune osservazioni sul polinomio di Mc Laurin. Allora:
-tale polinomio nasce dall'esigenza di trovare un'approssimazione migliore di una funzione (rispetto alla banale linearizzazione di essa) in un intorno di un certo punto $x_0$ che nel nostro caso è $0$.
Si dimostra che l'approssimazione è esprimibile nel seguente modo $ f(x)= \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)$
Ora concentriamoci sul resto secondo Lagrange: l'approssimazione diventa $ f(x)= \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)+ (f^(k+1)(c)x^(k+1))/((k+1)!)$; questa forma diventa più utile di quella del " resto secondo Peano " nel momento in cui si vuole trovare l'errore che si commette nell'approssimare una funzione a priori.
Cito il libro: " se si dimostra che $|(f^(k+1)(c)x^(k+1))/((k+1)!)|<=M$ allora$ |f(x) - \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)| <=M$ " quindi questo ci da informazioni concrete sull'errore commesso. Ora vi chiedo: "$c$" che cosa rappresenta? Come facciamo a dimostrare che il resto di lagrande è $<=$ di un certo valore? e come trovare il valore in questione per poi calcolare l'errore?
ps:ovviamente correggetemi anche eventuali cretinate che ho detto prima
-tale polinomio nasce dall'esigenza di trovare un'approssimazione migliore di una funzione (rispetto alla banale linearizzazione di essa) in un intorno di un certo punto $x_0$ che nel nostro caso è $0$.
Si dimostra che l'approssimazione è esprimibile nel seguente modo $ f(x)= \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)$
Ora concentriamoci sul resto secondo Lagrange: l'approssimazione diventa $ f(x)= \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)+ (f^(k+1)(c)x^(k+1))/((k+1)!)$; questa forma diventa più utile di quella del " resto secondo Peano " nel momento in cui si vuole trovare l'errore che si commette nell'approssimare una funzione a priori.
Cito il libro: " se si dimostra che $|(f^(k+1)(c)x^(k+1))/((k+1)!)|<=M$ allora$ |f(x) - \sum_{k=1}^N (f^k(0)x^k)/(k!)| <=M$ " quindi questo ci da informazioni concrete sull'errore commesso. Ora vi chiedo: "$c$" che cosa rappresenta? Come facciamo a dimostrare che il resto di lagrande è $<=$ di un certo valore? e come trovare il valore in questione per poi calcolare l'errore?
ps:ovviamente correggetemi anche eventuali cretinate che ho detto prima
Risposte
Ragazzi nessuno mi può dare una mano? 
$c$ rappresenta il punto in cui è centrato il Polinomio di Taylor, e se $c=0$ hai Mclaurin, ma questo lo sai già credo
Il tuo dubbio sulla dimostrazione, non saprei come spiegarlo, visto che non ci è stato dimostrato per il Resto di Lagrange, ma in questo PDF ( http://digilander.libero.it/paolovitolo ... taylag.pdf) penso che quando impone la disuguaglianza:
$e^\(xi_n)
Il tuo dubbio sulla dimostrazione, non saprei come spiegarlo, visto che non ci è stato dimostrato per il Resto di Lagrange, ma in questo PDF ( http://digilander.libero.it/paolovitolo ... taylag.pdf) penso che quando impone la disuguaglianza:
$e^\(xi_n)
Ma $c$ non può rappresentare il punto in cui è centrata altrimenti per Mc Laurin, come hai detto, dovrebbe essere $0$. Ma non è cosi dato che viene mantenuto il parametro $c$ anche per l'espressione del polinomio di Mc Laurin.. Grazie comunque, do uno sguardo al pdf! 
Grazie comunque, do uno sguardo al pdf!
Ho detto una stupidaggine scusami 
Quel c deriva dal teorema del valor medio di Lagrange
Quel c deriva dal teorema del valor medio di Lagrange
"Slashino":
Ma $c$ non può rappresentare il punto in cui è centrata altrimenti per Mc Laurin, come hai detto, dovrebbe essere $0$. Ma non è cosi dato che viene mantenuto il parametro $c$ anche per l'espressione del polinomio di Mc Laurin..
$c$ è un punto compreso tra $x$ e $x0$.
Ti faccio un esempio: se vuoi approssimare $root()(e)$, con Taylor, puoi porre $f(x)=e^x$, $x0=0$, $x=1/2$, $n=3$.
$=> root()(e) = T3(1/3)+ (e^c)/(4!) (1/2)^4$ , con $T3$=polinomio di Taylor di terzo grado.
Poichè per $0<=c <=1/2$ si ha $e^c<= root()(e)
$|root()(e)-T3(1/2)|<= root()(3)/(2^4 * 4!)~~0,0045 $ che significa che approssimando con Taylor hai un errore non superiore a $0,0045$
Quindi il M che si ritrova nella dimostrazione è il nostro $sqrt(3)$ in questo caso, e va scelto arbitrariamente per rendere vera la disuguaglianza diciamo?
Una cosa: come fai ad essere certo che $e^(1/2)$ sia minore di $3^(1/2)$ se noi non sappiamo a priori il valore di $e$? Per quanto ne sappiamo potrebbe valere anche $100$...
$e^(1/2)<3^(1/2)$
$sqrt(e)/sqrt(3)<0$
sono di segno concorde quindi non può essere negativo
$sqrt(e)/sqrt(3)<0$
sono di segno concorde quindi non può essere negativo
"Obidream":
Quindi il M che si ritrova nella dimostrazione è il nostro $sqrt(3)$ in questo caso, e va scelto arbitrariamente per rendere vera la disuguaglianza diciamo?
Esatto, secondo me è così. Basta trovare un valore abbastanza vicino, in questo caso 3, per controllare l'ordine del resto. Lo scegli tu, usi il confronto.
"Obidream":
$e^1/2<3^1/2$
$sqrt(e)/sqrt(3)<0$
sono di segno concorde quindi non può essere negativo
Esattamente, è come dici tu, inoltre $e<3$, il valore di $e$ è noto, insomma sai che approssimativamente si aggira attorno a $2,7...$, se non sei sicuro nel confrontarlo con $3$, usa $4$ o $5$, vedrai che non cambia molto
Ma il discorso che faccio io è questo: se ci preoccupiamo di trovare a priori l'errore commesso si presuppone che non sappiamo quale sia il valore che stiamo approssimando, in questo caso $\sqrt e $, o sbaglio?
Ho sbagliato a scrivere la frazione, ma si vede che intendevo elevato ad 1/2 perché dopo ho messo la radice
Tu stai lavorando con delle approssimazioni, ovvero stai cercando di vedere al meglio quanto sbagli. Ovvio, Taylor e McLaurin ci permettono di approssimare un polinomio, ma niente è più preciso del polinomio spesso, devi avere occhio a fare le sostituzioni giuste. Applichi il teorema del confronto in maniera più precisa possibile, ma stai parlando sempre di approssimarlo..
Va bene, grazie miller per l'interessamento!
"Slashino":
Va bene, grazie miller per l'interessamento!
Di niente figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo