Polinomio di mac laurin

[Daniele_971]

C'è un esercizio che mi chiede di calcolare il polinomio di maclaurin di ordine tre di una funzione.
La funzione è $ f (x)=cos (x^2) $
Quando vado a calcolare la derivata prima in 0 con la formula di Taylor e tutte le altre derivate successive escono tutte nulle. $ f' (x)=-sen (x^2)*2x $
$ f'' (x)=-cos (x^2)*4x^2 $
Queste per esempio in zero sono tutte nulle. Perché? La formula di Taylor non si può usare sempre?
La formula che uso è questa
$ P (x)=f (0)+f'(0)*(x-0)+(f''(0)*(x-0)^2)/(2!) $
Se invece uso gli sviluppi fondamentali di maclaurin i risultati mi escono.
Grazie in anticipo.

[Zero87]

"Daniele_97":Queste per esempio in zero sono tutte nulle. Perché? La formula di Taylor non si può usare sempre?

Attenzione a non confondere dei termini che si annullano in un punto e dei termini che non sono definiti in un punto. Termini che si annullano vuol dire semplicemente che assumono valore zero ma non ci sono problemi di dominio o altro.
Per il resto la formula di Taylor la puoi usare se sono soddisfatte le condizioni per usarla. Ovvero, se non ricordo male, se hai una funzione derivabile $n$ volte con continuità in un intorno di un certo punto $x_0$ puoi utilizzare la formula di Taylor fino all'ordine $n$ in $x_0$.

[francicko]

La formula di Mc Laurin non e' altro che la formula di Taylor centrata in $0$ cioe' per $x=0$, quella che hai riportato e' corretta , e giustamente la derivata prima, seconda e terza risultano $0$, infatti $f (0)=1$ e la derivata quarta invece non si annulla, prova a calcolare, e sostituendola nella formula dovresti ottenere se non erro $cos (x^2)=1-x^4/4+.... $
In questo caso la funzione e' definita e ' inoltre continua ed in definitivamente deruvabile in $0$ pertanto ha senso il calcolo del polinomio con la formula di Mc Laurin, se avessi avuto una funzione del tipo $1/x $ che non e' definita in $0$ allora non avrebbe senso, infatti non e' possibile trovare una serie polinomiale che approssimi tale funzione in tutto $R $.