Polinomio di Hermite per la scomposizione di un integrale
Salve! Vorrei chiedervi se gentilmente qualcuno riesce a spiegarmi il polinomio di Hermite per la scomposizione di un integrale perchè sia dagli appunti del mio prof. , sia da wikipedia, non ci capisco molto...
Per esempio:
$int frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}dx$
lo voglio scomporre con hermite. Mi fate capire come procedere? Grazie
Per esempio:
$int frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}dx$
lo voglio scomporre con hermite. Mi fate capire come procedere? Grazie
Risposte
ritorno a questa mia vecchia domanda in speranza di un vostro intervento! 
"qwerty90":
Salve! Vorrei chiedervi se gentilmente qualcuno riesce a spiegarmi il polinomio di Hermite per la scomposizione di un integrale perchè sia dagli appunti del mio prof. , sia da wikipedia, non ci capisco molto...
Per esempio:
$int frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}dx$
lo voglio scomporre con hermite. Mi fate capire come procedere? Grazie
Prendi il denominatore e lo riduci in fattori irriducibili.
In questo caso è già fatto (a meno che tu non contempli anche la possibilità di usare numeri complessi) e i 2 fattori irriducibili a denominatore sono x e $x^2 + 1$ con potenza 2.
Ora vuoi scomporre $frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}$ in una somma di frazioni che hanno come denominatore i tuoi fattori irriducibili del denominatore.
Se il fattore irriducibile del denominatore è di primo grado allora al numeratore va messo un coefficiente A (costante).
Se è di 2° grado va messo un coefficiente $Ax+B$.
Inoltre se ho dei fattori irriducibili che hanno una potenza 2 (come nel nostro caso) allora essi si devono riportare 2 volte di cui una volta con esponente 1 e 1 volta con esponente 2. Mi spiego:
supponiamo che hai $2x/(x^2+3)^2$ allora dovrai determinare A,B,C,D tali che $2x/(x^2+3)^2=(Ax+B)/(x^2+3)+(Cx+D)/(x^2+3)^2$.
Tornando quindi al tuo caso devi deteminare $A,B,C,D,E$ tali che $frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}=A/x+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/(x^2+1)^2$
e per farlo fai il denominatore comune e imposta il sistema
1)Come creo il sistema? ( ancora non ho fatto algebra lineare e geometria, quindi non ricordo queste cose)
2)Loro dicono che è possibile decomporre così una funzione razionale propria, ma quì il numeratore è maggiore del denominatore, quindi si deve fare qualche altro passaggio?
3) C'è questo esercizio che vorrei perfavore speigato, per il resto va bene:
Loro hanno inizialmente un integrale del tipo $int_()^()(2x+1)/((x-3)(x^2-x+1))dx$ che decompognono usando la regola di Hermite e facendo il sistema trovano che la funzione è uguale a $1/(x-3)-x/(x^2-x+1)$. Adesso fanno l'integrale e quindi $int_()^()1/(x-3)dx-int_()^()x/(x^2-x+1)dx$ e quì ci siamo.
Il primo integrale è semplice ed è: $log|x-3| - 1/2int_()^()(2x)/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2int_()^()(2x-1)/(x^2-x+1)dx-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$ a questo punto l'ultimo integrale lo risolvono con la formula per ricorrenza che ho scritto io nell'altro post al punto numero 3. Ma, lasciando perdere la formula e l'ultimo integrale, come arrivano a questo:$log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$? che forma di integrazione usano?A me sembra che usino la formula di Hermite a cascata, o sbaglio? Se si, non è troppo lunga la risoluzione con questo metodo? Non ce ne sono altri più semplici?
P.S. ragazzi guardate questo esercizio:
$int_()^()(e^x-1)/(e^x+1)dx$ dove fanno la sostituzione $e^x=t$ e scrivono $int_()^()(t-1)/(t(t+1))dt$ ora da questo t che è apparso improvvisamente al denominatore ho capito che è integrazione per sostituzione, e io ho pensato di fare così, $e^x=t$ da cui$ x=logt$ da cui $int_()^()(logt-1)/(logt+1)1/tdt$
Ora come mi riconduco a quella forma?
2)Loro dicono che è possibile decomporre così una funzione razionale propria, ma quì il numeratore è maggiore del denominatore, quindi si deve fare qualche altro passaggio?
3) C'è questo esercizio che vorrei perfavore speigato, per il resto va bene:
Loro hanno inizialmente un integrale del tipo $int_()^()(2x+1)/((x-3)(x^2-x+1))dx$ che decompognono usando la regola di Hermite e facendo il sistema trovano che la funzione è uguale a $1/(x-3)-x/(x^2-x+1)$. Adesso fanno l'integrale e quindi $int_()^()1/(x-3)dx-int_()^()x/(x^2-x+1)dx$ e quì ci siamo.
Il primo integrale è semplice ed è: $log|x-3| - 1/2int_()^()(2x)/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2int_()^()(2x-1)/(x^2-x+1)dx-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$ a questo punto l'ultimo integrale lo risolvono con la formula per ricorrenza che ho scritto io nell'altro post al punto numero 3. Ma, lasciando perdere la formula e l'ultimo integrale, come arrivano a questo:$log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$? che forma di integrazione usano?A me sembra che usino la formula di Hermite a cascata, o sbaglio? Se si, non è troppo lunga la risoluzione con questo metodo? Non ce ne sono altri più semplici?
P.S. ragazzi guardate questo esercizio:
$int_()^()(e^x-1)/(e^x+1)dx$ dove fanno la sostituzione $e^x=t$ e scrivono $int_()^()(t-1)/(t(t+1))dt$ ora da questo t che è apparso improvvisamente al denominatore ho capito che è integrazione per sostituzione, e io ho pensato di fare così, $e^x=t$ da cui$ x=logt$ da cui $int_()^()(logt-1)/(logt+1)1/tdt$
Ora come mi riconduco a quella forma?
"AlexlovesUSA":
1)Come creo il sistema? ( ancora non ho fatto algebra lineare e geometria, quindi non ricordo queste cose)
2)Loro dicono che è possibile decomporre così una funzione razionale propria, ma quì il numeratore è maggiore del denominatore, quindi si deve fare qualche altro passaggio?
3) C'è questo esercizio che vorrei perfavore speigato, per il resto va bene:
Loro hanno inizialmente un integrale del tipo $int_()^()(2x+1)/((x-3)(x^2-x+1))dx$ che decompognono usando la regola di Hermite e facendo il sistema trovano che la funzione è uguale a $1/(x-3)-x/(x^2-x+1)$. Adesso fanno l'integrale e quindi $int_()^()1/(x-3)dx-int_()^()x/(x^2-x+1)dx$ e quì ci siamo.
Il primo integrale è semplice ed è: $log|x-3| - 1/2int_()^()(2x)/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2int_()^()(2x-1)/(x^2-x+1)dx-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx=log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$ a questo punto l'ultimo integrale lo risolvono con la formula per ricorrenza che ho scritto io nell'altro post al punto numero 3. Ma, lasciando perdere la formula e l'ultimo integrale, come arrivano a questo:$log|x-3|-1/2log(x^2-x+1)-1/2int_()^()1/(x^2-x+1)dx$? che forma di integrazione usano?A me sembra che usino la formula di Hermite a cascata, o sbaglio? Se si, non è troppo lunga la risoluzione con questo metodo? Non ce ne sono altri più semplici?
P.S. ragazzi guardate questo esercizio:
$int_()^()(e^x-1)/(e^x+1)dx$ dove fanno la sostituzione $e^x=t$ e scrivono $int_()^()(t-1)/(t(t+1))dt$ ora da questo t che è apparso improvvisamente al denominatore ho capito che è integrazione per sostituzione, e io ho pensato di fare così, $e^x=t$ da cui$ x=logt$ da cui $int_()^()(logt-1)/(logt+1)1/tdt$
Ora come mi riconduco a quella forma?
Direi che hai le idee un po' confuse....
Iniziamo dalla prima domanda.
Il sistema lo imposti facendo il dnominatore comune e ottenendo così a numeratore una serie di termini in $A,B,C,D,E,x$. Eguagli questo numeratore al numeratore di partenza cioè $2+x^3$ e hai il tuo sistema.
Domanda 2:
guarda che il numeratore non è affatto più grande del denominatore.
Il numeratore ha grado 3. Il denominatore ha grado 5!!!
Domanda 3:
$int_()^()(2x-1)/(x^2-x+1)dx$ è un integrale immediato, cioè ciò che è sotto l'integrale è la derivata di qualcosa (cosa?!), e quindi si fa immediatamente senza nessuna formula di Hermite.
Domanda 4:
se fai la sostituzione $x=log(t)$ non trovi affatto ciò che hai scritto tu, ma esattamente $int_()^()(t-1)/(t(t+1))dt$ poichè $e^x=e^(log(t))=t$!!
@Alex: Accetti un consiglio? Le prossime volte cerca di postare una domanda alla volta e sforzati di esprimerti in modo corretto (cura di più anche l'italiano) e ordinato. Sei stato molto fortunato a trovare Misanino che ha una grande competenza e una ancora più grande pazienza e si è preso la briga di decifrare il tuo post, rispondendo in modo preciso e puntuale; non tutti lo avrebbero fatto.
"misanino":
[quote="qwerty90"]Salve! Vorrei chiedervi se gentilmente qualcuno riesce a spiegarmi il polinomio di Hermite per la scomposizione di un integrale perchè sia dagli appunti del mio prof. , sia da wikipedia, non ci capisco molto...
Per esempio:
$int frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}dx$
lo voglio scomporre con hermite. Mi fate capire come procedere? Grazie
Prendi il denominatore e lo riduci in fattori irriducibili.
In questo caso è già fatto (a meno che tu non contempli anche la possibilità di usare numeri complessi) e i 2 fattori irriducibili a denominatore sono x e $x^2 + 1$ con potenza 2.
Ora vuoi scomporre $frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}$ in una somma di frazioni che hanno come denominatore i tuoi fattori irriducibili del denominatore.
Se il fattore irriducibile del denominatore è di primo grado allora al numeratore va messo un coefficiente A (costante).
Se è di 2° grado va messo un coefficiente $Ax+B$.
Inoltre se ho dei fattori irriducibili che hanno una potenza 2 (come nel nostro caso) allora essi si devono riportare 2 volte di cui una volta con esponente 1 e 1 volta con esponente 2. Mi spiego:
supponiamo che hai $2x/(x^2+3)^2$ allora dovrai determinare A,B,C,D tali che $2x/(x^2+3)^2=(Ax+B)/(x^2+3)+(Cx+D)/(x^2+3)^2$.
Tornando quindi al tuo caso devi deteminare $A,B,C,D,E$ tali che $frac{2+x^3}{x*(x^2 + 1)^2}=A/x+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/(x^2+1)^2$
e per farlo fai il denominatore comune e imposta il sistema[/quote]
Ok ho capito tutto. La cosa che mi stranizza è che in alcuni esercizi, dove veniva usato Hermite, compariva un differenziale....beh io mi fido di te , ma ne sai niente di questo benedetto differenziale (che veniva sommato a qualcosa di simile a quello che hai scritto tu) ?
"qwerty90":
Ok ho capito tutto. La cosa che mi stranizza è che in alcuni esercizi, dove veniva usato Hermite, compariva un differenziale....beh io mi fido di te , ma ne sai niente di questo benedetto differenziale (che veniva sommato a qualcosa di simile a quello che hai scritto tu) ?
Non ho ben capito cosa intendi.
Posta qui uno di quegli esercizi, così gli diamo un'occhiata insieme
"misanino":
Non ho ben capito cosa intendi.
Posta qui uno di quegli esercizi, così gli diamo un'occhiata insieme
Esempio:
$int frac{2}{(x^2-1)^2} dx $
cerchiamo $A,B,C,D in RR$ tali che:
$ frac{2}{(x^2-1)^2}= frac{2}{(x-1)^(2) *(x+1)^(2)}$ =
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
e poi continua...
Esempio:
$int frac{2}{(x^2-1)^2} dx $
cerchiamo $A,B,C,D in RR$ tali che:
$ frac{2}{(x^2-1)^2}= frac{2}{(x-1)^(2) *(x+1)^(2)}$ =
$ frac{A}{y+1} + frac{B}{y-1} + frac{d (Cy + D)}{dy (y+1)(y-1)}$
e poi continua...[/quote]
Dunque, sicuramente puoi vedere il denominatore $(x^2-1)^2$ come $(x-1)^(2) *(x+1)^(2)$ e fare come ti ho detto prima io, cioè:
$A/(x+1)+B/(x+1)^2+C/(x-1)+D/(x-1)^2$ e ti uscirà giusto.
Mi sembra però anche interessante capire il metodo proposto nell'esercizio che hai scritto.
Per favore scrivi l'esercizio completo fino alla soluzione in modo da poter capire cosa viene fatto
$int frac{2}{(x^2-1)^2} dx $
cerchiamo $A,B,C,D in RR$ tali che:
$ frac{2}{(x^2-1)^2}= frac{2}{(x-1)^(2) *(x+1)^(2)}$ =
$ frac{A}{y+1} + frac{B}{y-1} + frac{d (Cy + D)}{dy (y+1)(y-1)}$
e poi continua...[/quote]
Dunque, sicuramente puoi vedere il denominatore $(x^2-1)^2$ come $(x-1)^(2) *(x+1)^(2)$ e fare come ti ho detto prima io, cioè:
$A/(x+1)+B/(x+1)^2+C/(x-1)+D/(x-1)^2$ e ti uscirà giusto.
Mi sembra però anche interessante capire il metodo proposto nell'esercizio che hai scritto.
Per favore scrivi l'esercizio completo fino alla soluzione in modo da poter capire cosa viene fatto
"misanino":
[quote="qwerty90"]Esempio:
$int frac{2}{(x^2-1)^2} dx $
cerchiamo $A,B,C,D in RR$ tali che:
$ frac{2}{(x^2-1)^2}= frac{2}{(x-1)^(2) *(x+1)^(2)}$ =
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
e poi continua...
Dunque, sicuramente puoi vedere il denominatore $(x^2-1)^2$ come $(x-1)^(2) *(x+1)^(2)$ e fare come ti ho detto prima io, cioè:
$A/(x+1)+B/(x+1)^2+C/(x-1)+D/(x-1)^2$ e ti uscirà giusto.
Mi sembra però anche interessante capire il metodo proposto nell'esercizio che hai scritto.
Per favore scrivi l'esercizio completo fino alla soluzione in modo da poter capire cosa viene fatto[/quote]
ok
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
$ frac{(A+B)x - A + B}{x^2-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
Il 1° membro è pari, quindi tale deve essere anche il 2°. Poniamo $A+B = 0 $, cioè $-A=B $ , e $D=0$( In modo tale che $frac{Cx + D}{x^2 - 1}$ diventi dispari) . Si ha allora
$frac{2}{x^2 - 1} = frac{2B}{x^2 - 1} + frac{d Cx}{dx x^2 - 1}$ =
$frac{2B(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} + frac{ C(x^2 - 1) - 2Cx^2}{(x^2 - 1)^2}$ =
$frac{(2B - C)x^2 - 2B - C}{(x^2 - 1)^2}$
E' quindi sufficiente (ma in realtà anche necessario) che valga:
${ ( 2B - C = 0 ),( -2B - C = 2 ):}$
cioè $B= -1/2 , C=1$
$A = -B= 1/2$, quindi essendo $D=0$
la nostra equazione iniziale:
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
diventa
$int frac{dx}{2(x+1)} - int frac{dx}{2(x-1)} + int frac{d(-x)}{d(x^2 - 1)} dx $=
$(1/2) ln |x+1| - (1/2) ln |x-1| - frac{x}{x^2 - 1} + c$ =
$(1/2) ln |frac{x+1}{x-1}| - frac{x}{x^2 - 1} + c$
fine
"qwerty90":
ok
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
$ frac{(A+B)x - A + B}{x^2-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
Il 1° membro è pari, quindi tale deve essere anche il 2°. Poniamo $A+B = 0 $, cioè $-A=B $ , e $D=0$( In modo tale che frac{Cx + D}{x^2 - 1} diventi dispari) . Si ha allora
$frac{2}{x^2 - 1} = frac{2B}{x^2 - 1} + frac{d Cx}{dx x^2 - 1}$ =
$frac{2B(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} + frac{ C(x^2 - 1) - 2Cx^2}{(x^2 - 1)^2}$ =
$frac{(2B - C)x^2 - 2B - C}{(x^2 - 1)^2}$
E' quindi sufficiente (ma in realtà anche necessario) che valga:
${ ( 2B - C = 0 ),( -2B - C = 2 ):}$
cioè $B= -1/2 , C=1$
$A = -B= 1/2$, quindi essendo $D=0$
la nostra equazione iniziale:
$ frac{A}{x+1} + frac{B}{x-1} + frac{d (Cx + D)}{dx (x+1)(x-1)}$
diventa
$int frac{dx}{2(x+1)} - int frac{dx}{2(x-1)} + int frac{d(-x)}{d(x^2 - 1)} dx $=
$(1/2) ln |x+1| - (1/2) ln |x-1| - frac{x}{x^2 - 1} + c$ =
$(1/2) ln |frac{x+1}{x-1}| - frac{x}{x^2 - 1} + c$
fine
Ho controllato questo procedimento anche su altre fonti e il tutto torna.
Il vantaggio rispetto al precedente procedimento è che prima dovevamo poi calcolare l'integrale di una costante fratto $(x+1)^2$ che non è così immediato.
Il mio consiglio è quindi di usare questo procedimento rispetto al precedente nel caso si abbia a denominatore un fattore irriducibile di primo grado elevato ad una potenza maggiore di 1.
Cioè se hai a denominatore $x(x+3)^2$ ad esempio usa tale metodo.
Se invece hai $x(x^2+3)$ usa ciò che ti ho detto prima
"misanino":
Ho controllato questo procedimento anche su altre fonti e il tutto torna.
Il vantaggio rispetto al precedente procedimento è che prima dovevamo poi calcolare l'integrale di una costante fratto $(x+1)^2$ che non è così immediato.
Il mio consiglio è quindi di usare questo procedimento rispetto al precedente nel caso si abbia a denominatore un fattore irriducibile di primo grado elevato ad una potenza maggiore di 1.
Cioè se hai a denominatore $x(x+3)^2$ ad esempio usa tale metodo.
Se invece hai $x(x^2+3)$ usa ciò che ti ho detto prima
ok grazie
@Misanino: Si scusa per il grado, me ne sono accorto subito dopo avere scritto la cavolata ma ho dimenticato di cancellarla 
Per la creazione del sistema adesso ci siamo e anche per la sostituzione $x=logt$.
@dissonance:Per quanto riguarda l'ordine e il modo di esprimermi scusate se sono stato un po confuso ma a me sembrava abbastanza chiaro, fatto sta che ho ricevuto le risposte che volevo ricevere.
Per la creazione del sistema adesso ci siamo e anche per la sostituzione $x=logt$.
@dissonance:Per quanto riguarda l'ordine e il modo di esprimermi scusate se sono stato un po confuso ma a me sembrava abbastanza chiaro, fatto sta che ho ricevuto le risposte che volevo ricevere.
Salve gente, scusate se riapro questo thread, ma ho una domanda:
Ci può stare, ma se ho una cosa di questo tipo:
$\int (dx/(x^2+1)^2)$
se applicassi il metodo che avete spiegato, otterrei
$ (Ax+B)/(x^2+1)+(Cx+D)/(x^2+1)^2$
cioè, lavorando solo sul numeratore
$ (Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)$
giusto?
Ora, con il metodo che ha spiegato l'esercitatore di Analisi, in questo caso dovrei (senza scappatoie), adottare il seguente procedimento:
$ (Ax+B)/(x^2+1)+(d/(dx))(Cx+D)/(x^2+1)$
ovvero:
$ (Ax+B)/(x^2+1)+((C)(x^2+1)-(Cx+D)(2x))/(x^2+1)^2$
sempre solo sul denominatore, la scrittura diventa
$ Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^2+C-2Cx^2-2Dx$
che è ben lungi dall'essere uguale a prima.
La mia domanda quindi è, cos'è successo in questo caso, rispetto a quello di prima? Cioè, vedo anche io che al denominatore ho un polinomio di 4 grado e non più di secondo, ma perchè questo necessita la presenza di un differenziale? (credo sia un po' esattamente la stessa domanda del topic, ma purtoppo in questo caso non riesco a venirne a capo nell'altro metodo...)
Grazie a tutti, buona serata!!
Il mio consiglio è quindi di usare questo procedimento rispetto al precedente nel caso si abbia a denominatore un fattore irriducibile di primo grado elevato ad una potenza maggiore di 1.
Ci può stare, ma se ho una cosa di questo tipo:
$\int (dx/(x^2+1)^2)$
se applicassi il metodo che avete spiegato, otterrei
$ (Ax+B)/(x^2+1)+(Cx+D)/(x^2+1)^2$
cioè, lavorando solo sul numeratore
$ (Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)$
giusto?
Ora, con il metodo che ha spiegato l'esercitatore di Analisi, in questo caso dovrei (senza scappatoie), adottare il seguente procedimento:
$ (Ax+B)/(x^2+1)+(d/(dx))(Cx+D)/(x^2+1)$
ovvero:
$ (Ax+B)/(x^2+1)+((C)(x^2+1)-(Cx+D)(2x))/(x^2+1)^2$
sempre solo sul denominatore, la scrittura diventa
$ Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^2+C-2Cx^2-2Dx$
che è ben lungi dall'essere uguale a prima.
La mia domanda quindi è, cos'è successo in questo caso, rispetto a quello di prima? Cioè, vedo anche io che al denominatore ho un polinomio di 4 grado e non più di secondo, ma perchè questo necessita la presenza di un differenziale? (credo sia un po' esattamente la stessa domanda del topic, ma purtoppo in questo caso non riesco a venirne a capo nell'altro metodo...)
Grazie a tutti, buona serata!!
"misanino":
supponiamo che hai $2x/(x^2+3)^2$ allora dovrai determinare A,B,C,D tali che $2x/(x^2+3)^2=(Ax+B)/(x^2+3)+(Cx+D)/(x^2+3)^2$.
Ciao! Stavo leggendo le tue ottime spiegazioni e mi sono imbattuto in un "problema"
questo esempio che hai fatto, una volta svolto, fornisce il sistema
$ Ax ^ 3 = 0 $
$ Bx ^ 2 = 0 $
$ 3Ax + Cx = 0 $
$ 3B + D = 0 $
da cui A = 0, B= 0, C = 2, D= 0!
E si torna semplicemente alla funzione di partenza! Ho sbagliato io? può capitare che non sia scomponibile il polinomio?
Cosa è successo!?
Grazie infinite!
Questo topic è vecchio di anni e l'utente che hai quotato non si fa più vedere dal 2010. Sarà difficile avere risposta, purtroppo.
peccato, mi sembrava uno che ne sapeva...
grazie cmq Sig. Moderatore!
Vai ringraziato a modo per il lavoro che fai e per il sapere libero che porti avanti, soprattutto in un momento dove l'educazione sta diventando sempre più elitaria
Davvero vivi complimenti!
grazie cmq Sig. Moderatore!
Vai ringraziato a modo per il lavoro che fai e per il sapere libero che porti avanti, soprattutto in un momento dove l'educazione sta diventando sempre più elitaria
Davvero vivi complimenti!
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