Polinomio
Ciao,
Sono alle prese con questo semplice esercizio (almeno in apparenza XD):
"determinare un polinomio P(x) a coefficienti reali che soddisfi P(i+1) = P(2) = 0"
Suggerimenti? Se prendo il polinomio $ P(x) = x^2 - 2i$ va bene?
Se faccio $P(i+1) = (i + 1)^2 - 2i = i^2 + 1 + 2i - 2i = 0 $ (considerando che $i^2 = -1$)
Ottengo lo stesso risultato di $P(2) = 0$, pertanto penso sia corretto
Che dite?
Grazie
Sono alle prese con questo semplice esercizio (almeno in apparenza XD):
"determinare un polinomio P(x) a coefficienti reali che soddisfi P(i+1) = P(2) = 0"
Suggerimenti? Se prendo il polinomio $ P(x) = x^2 - 2i$ va bene?
Se faccio $P(i+1) = (i + 1)^2 - 2i = i^2 + 1 + 2i - 2i = 0 $ (considerando che $i^2 = -1$)
Ottengo lo stesso risultato di $P(2) = 0$, pertanto penso sia corretto
Che dite?
Grazie
Risposte
"gugione":
Se prendo il polinomio $ P(x) = x^2 - 2i$ va bene?
Eh no che non va bene
Lo vuoi a coefficienti reali, quel $-2i$ non deve comparire.
Pensa: si annulla per $x_0=2$, quindi il pezzo più semplice che puoi pensare che si annulli in quel punto è $(x-2)$.
Poi sai che si annulla per $x_1=i+1$, e come prima il più semplice che puoi pensare è $(x-i-1)$.
Se i coefficienti complessi fossero accettati ci fermeremmo qui, perché
$P_(CC)(x)=(x-2)(x-i-1)$
soddisferebbe sicuramente la consegna. Purtroppo non devono comparire termini complessi... e allora qual è il "trucchetto"?
"gugione":
Ottengo lo stesso risultato di $P(2) = 0$, pertanto penso sia corretto
Proprio no, con quel polinomio lì viene
$P(2)=4-2i qquad (ne 0)$
Ma scusa, non é corretto terminare l'esercizio a $P(x) = (x-2)(x-1-i)$? nel senso che io dovrei in teoria sempre avere almeno una $i$ cosi da riuscire a eliminare la $i$ nel caso del polinomio $P(i+1)$. o no?
Poi si, scusa...non avevo capito che in effetti $P(2)$ si riferisse allo stesso polinomio (sono sempre piu rimbambito XD)
Poi si, scusa...non avevo capito che in effetti $P(2)$ si riferisse allo stesso polinomio (sono sempre piu rimbambito XD)
"gugione":
Ma scusa, non é corretto terminare l'esercizio a $P(x) = (x-2)(x-1-i)$? nel senso che io dovrei in teoria sempre avere almeno una $i$ cosi da riuscire a eliminare la $i$ nel caso del polinomio $P(i+1)$. o no?
Se fosse così la richiesta che il polinomio debba presentare solo coefficienti reali non avrebbe senso, no?
Per aiutarti a capire: l'equazione
$x^2+1=0$
non ha soluzioni nel campo reale, tuttavia le soluzioni $i$ e $-i$ del campo complesso la soddisfano, "anche se non appaiono scritte"... come fai dunque a nascondere quella $i$?
Sapendo che $i = sqrt(-1)$ posso scrivere il polinomio come $P(x) = (x-2)(x-1-sqrt(-1))$ é l'unica cosa che mi é venuta in mente, ma dovrebbe funzionare
Ma no, $sqrt(-1)$ non si scrive mai - apposta usiamo $i$. Inoltre anche accettando quella scrittura non siamo ancora nel campo reale, dove la definizione di $i$ non ha senso. Conosci il teorema fondamentale dell'algebra? Quante radici ha il polinomio che stiamo cercando?
Lo conosco! 2 radici in quanto sto considerando un polinomio al quadrato
...e chi ti ha detto che è un polinomio di secondo grado? 
Hint: coniugato
Hint: coniugato
Se considero $P(x) = (x-1)(x-1-i)$ mi sembra di secondo grado
Ok, ma quello che stiamo cercando non lo è
Ah, ok...non avevo capito XD
si si, $(x-1-i)$ é di primo grado. Ho provato a vederla come equazione comlessa $x = 1 + i$ ma non credo sia questo il senso dell'esercizio.
si si, $(x-1-i)$ é di primo grado. Ho provato a vederla come equazione comlessa $x = 1 + i$ ma non credo sia questo il senso dell'esercizio.
Non mi sto riferendo a quel pezzo ma al nostro sfuggente $P(x)$ completo.
Mmh, temo che il teorema fondamentale dell'algebra non l'hai ancora ben introiettato. Quel teorema afferma che un polinomio di grado $n$ presenta sicuramente $n$ radici: se una o più non si trovano nel campo reale, allora queste devono trovarsi nel campo complesso (un polinomio di quinto grado che possiede 3 radici nel campo reale ha le altre 2 nel campo complesso).
Del nostro polinomio conosciamo due radici, una reale e una complessa: il fatto però che deve avere coefficienti reali implica che deve esistere un'altra radice, coniugata con quella complessa che già conosciamo.
Detto ciò, dovresti ora aver capito cosa manca per completare la consegna
"gugione":
Ho provato a vederla come equazione comlessa $x = 1 + i$ ma non credo sia questo il senso dell'esercizio.
Mmh, temo che il teorema fondamentale dell'algebra non l'hai ancora ben introiettato. Quel teorema afferma che un polinomio di grado $n$ presenta sicuramente $n$ radici: se una o più non si trovano nel campo reale, allora queste devono trovarsi nel campo complesso (un polinomio di quinto grado che possiede 3 radici nel campo reale ha le altre 2 nel campo complesso).
Del nostro polinomio conosciamo due radici, una reale e una complessa: il fatto però che deve avere coefficienti reali implica che deve esistere un'altra radice, coniugata con quella complessa che già conosciamo.
Detto ciò, dovresti ora aver capito cosa manca per completare la consegna
Forse ho capito (lo spero XD) quando hai scritto Coniugato
$P(x) = (x-2)(x-1-i)(x-1+i)$
$P(x) = (x-2)(x-1-i)(x-1+i)$
Adesso ci siamo 
Fantastico, ho capito!!
Grazie mille per la pazienza e la spiegazione
Grazie mille per la pazienza e la spiegazione
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