Polinomi Ortogonali della fisica, definizione interessante
Ciao,
Ho trovato su delle dispense una formula interessante che comprenderebbe molti dei polinomi ortogonali utilizzati nella fisica
Definiamo nell'intervallo [a,b]
[tex]P_n(y)=\frac{1}{w(y)} \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big)[/tex]
con le condizioni:
1) [tex]P_1[/tex] è un polinomio di primo grado
2) [tex]s(y)[/tex] è un polinomio di grado minore di 2 con radici reali
3) [tex]w(y) \ge 0[/tex] e integrabile in [a,b]
4) [tex]s(a)w(a)=s(b)w(b)=0[/tex]
Questo può comprendere ad esempio i polinomi di Laguerre
o di Hermite con [tex]s(y)=-1,\; w(y)=e^{y^2}[/tex]
Adesso parte a integrare per dimostrare la normalizzazione
[tex]w(y) P_n(y)= \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big)[/tex]
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy[/tex] dice che si semplifica integrando per parti la formula sopra,
solo che integrando per parti, via via mi rimangono termini del tipo [tex]\left[ \frac{d^{n-i}}{dy^{n-i}}\big( s^n(y) w(y) \big) \; \frac{d^{i-1}}{dy^{i-1}} P_n(y) \right]_a^b[/tex] che dovrei credo riuscire a dire che si annullano?
[Edit]ho modificato il titolo che non era molto azzeccato[/Edit]
Ho trovato su delle dispense una formula interessante che comprenderebbe molti dei polinomi ortogonali utilizzati nella fisica
Definiamo nell'intervallo [a,b]
[tex]P_n(y)=\frac{1}{w(y)} \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big)[/tex]
con le condizioni:
1) [tex]P_1[/tex] è un polinomio di primo grado
2) [tex]s(y)[/tex] è un polinomio di grado minore di 2 con radici reali
3) [tex]w(y) \ge 0[/tex] e integrabile in [a,b]
4) [tex]s(a)w(a)=s(b)w(b)=0[/tex]
Questo può comprendere ad esempio i polinomi di Laguerre
o di Hermite con [tex]s(y)=-1,\; w(y)=e^{y^2}[/tex]
Adesso parte a integrare per dimostrare la normalizzazione
[tex]w(y) P_n(y)= \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big)[/tex]
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy[/tex] dice che si semplifica integrando per parti la formula sopra,
solo che integrando per parti, via via mi rimangono termini del tipo [tex]\left[ \frac{d^{n-i}}{dy^{n-i}}\big( s^n(y) w(y) \big) \; \frac{d^{i-1}}{dy^{i-1}} P_n(y) \right]_a^b[/tex] che dovrei credo riuscire a dire che si annullano?
[Edit]ho modificato il titolo che non era molto azzeccato[/Edit]
Risposte
Non mi sono messo a fare i conti ma vorrei fare una osservazione:
Se prendi [tex]s(y)= -1[/tex] e [tex]w(y)=e^{y^2}[/tex] non viene meno la condizione 4? Scusa per la domanda idiota
Te lo dico perchè se la fonte è una dispensa trovata su internet, v'è la possibilità che non sia corretta. Ripeto non mi sono messo a fare i conti e non so se sono in grado di risolvere il tuo problema, la mia è solo una curiorità
Se prendi [tex]s(y)= -1[/tex] e [tex]w(y)=e^{y^2}[/tex] non viene meno la condizione 4? Scusa per la domanda idiota
Te lo dico perchè se la fonte è una dispensa trovata su internet, v'è la possibilità che non sia corretta. Ripeto non mi sono messo a fare i conti e non so se sono in grado di risolvere il tuo problema, la mia è solo una curiorità
Hai ragione, mi sono sbagliato, per avere Hermite si dovrebbe avere [tex]w(x)=e^{-y^2}[/tex]... e allora torna la condizione 4)
così si ottiene [tex]H_n(y)=(-1)^n \;e^{y^2} \frac{d^n}{dy^n} e^{-y^2}[/tex]
Il fatto è che questa dispensa è poco esauriente sull'integrazione, dice solo di farlo per parti
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy= \int_a^b \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big) \; P_n(y) dy = ...[/tex]
ma non riuscivo proprio a trovare la relazione di ricorsione
ci penserò domani a mente fresca...
così si ottiene [tex]H_n(y)=(-1)^n \;e^{y^2} \frac{d^n}{dy^n} e^{-y^2}[/tex]
Il fatto è che questa dispensa è poco esauriente sull'integrazione, dice solo di farlo per parti
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy= \int_a^b \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big) \; P_n(y) dy = ...[/tex]
ma non riuscivo proprio a trovare la relazione di ricorsione
ci penserò domani a mente fresca...
Non so quanto possa essere utile (non mi sono messo neanche io a fare i conti espliciti dell'integrale) però le condizioni mi fanno credere che tu possa scegliere le funzioni [tex]$s(y),\ w(y)$[/tex] in maniera molto specifica. Se tieni conto infatti della richiesta al punto 2) deve essere [tex]$s(y)=y-a,\ a\in\mathbb{R}$[/tex], oppure [tex]$s(y)=c\in\mathbb{R}$[/tex]. Se allora sostituisci tali funzione per il caso $n=1$ ottieni
[tex]$P_1(y)=\frac{1}{w(y)}\left[w(y)+(y-a)\cdot w'(y)\right]=1+\frac{w'(y)}{w(y)}\cdot(y-a)$[/tex] oppure [tex]$P_1(y)=\frac{1}{w(y)}\cdot c\cdot w'(y)$[/tex]
per cui dalla richiesta al punto 1) mi sembra che debba essere necessariamente
[tex]$w'(y)=k\cdot w(y),\ k\in\mathbb{R}$[/tex] oppure [tex]$w'(y)=(Ay+B)\cdot w(y)$[/tex].
Forse questo può aiutarti a calcolare meglio le condizioni di normalizzazione.
[tex]$P_1(y)=\frac{1}{w(y)}\left[w(y)+(y-a)\cdot w'(y)\right]=1+\frac{w'(y)}{w(y)}\cdot(y-a)$[/tex] oppure [tex]$P_1(y)=\frac{1}{w(y)}\cdot c\cdot w'(y)$[/tex]
per cui dalla richiesta al punto 1) mi sembra che debba essere necessariamente
[tex]$w'(y)=k\cdot w(y),\ k\in\mathbb{R}$[/tex] oppure [tex]$w'(y)=(Ay+B)\cdot w(y)$[/tex].
Forse questo può aiutarti a calcolare meglio le condizioni di normalizzazione.
Dunque, ci ho pensato un pò e non sono riuscito a trovare una strada più immediata
quindi mi sa che l'unico modo è rimboccarsi le maniche e seguire l'intuizione di ciampax, che ringrazio
[tex]s(y)=cy+d[/tex] con [tex]c,d \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]s'(y)=c[/tex]
e dalla condizione che [tex]P_1(y)[/tex] sia un polinomio di primo grado si ha (vedi il post precedente di ciampax)
Se [tex]c=0\;\;\;\;\; w'(y)=(Ay+B) w(y)[/tex]
Altrimenti se [tex]c \ne 0\;\;\;\;\; w'(y)=B w(y)[/tex]
Ora per calcolare l'integrale che stiamo cercando di calcolare bisogna calcolarsi le derivate di [tex]s^n(y)[/tex] e di [tex]w(y)[/tex]
[tex]\frac{d^k}{dy^k}(s^n(y))=\frac{d^{k-1}}{dy^{k-1}} \big( n s^{n-1}(y) c \big)=\frac{n!}{(n-k)!} c^k s^{n-k}(y)[/tex]
Se [tex]c\ne 0 \;\;\;\;\; \frac{d^h}{dy^h}w(y)=B \frac{d^{h-1}}{dy^{h-1}} w(y)= B^h w(y)[/tex]
se invece [tex]c = 0[/tex] con qualche passaggio si può mostrare che [tex]\frac{d^h}{dy^h}w(y)= Q_h(y) w(y)[/tex]
dove [tex]Q_h(y)[/tex] è un polinomio di grado [tex]h[/tex] rispetto a [tex]y[/tex], che dipende da [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]
Torniamo finalmente all'integrale di partenza
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy=\int_a^b \frac{d^n}{dy^n}\big( w(y) s^n(y) \big) P_n(y) dy=[/tex]
[tex]=\big[ \frac{d^{n-1}}{dy^{n-1}}\big( w(y) s^n(y) \big) P_n(y) \big]_a^b -\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dy^{n-1}}\big( w(y) s^n(y) \big) P'_n(y) dy[/tex]
dove nell'ultimo passaggio si è usato l'integrazione per parti.
Adesso sfruttando le relazioni trovate in precedenza si può dire che il primo addendo è nullo grazie alla condizione 4) nella definizione dei Polinomi.
Per chi interessa:
Quindi infine direi [tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy=(-1)^n \int_a^b w(y) s^n(y)\; \frac{d^n}{dy^n} P_n(y) dy= (-1)^n k_n n! \int_a^b w(y) s^n(y) dy[/tex]
dato che [tex]P_n(y)[/tex] dovrebbe essere un polinomio di grado [tex]n[/tex], anche se non l'ho dimostrato formalmente
ed in realtà in questo momento non saprei come fare... Qualche idea?
La formula dovrebbe essere giusta che dite?
Grazie
quindi mi sa che l'unico modo è rimboccarsi le maniche e seguire l'intuizione di ciampax, che ringrazio
[tex]s(y)=cy+d[/tex] con [tex]c,d \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]s'(y)=c[/tex]
e dalla condizione che [tex]P_1(y)[/tex] sia un polinomio di primo grado si ha (vedi il post precedente di ciampax)
Se [tex]c=0\;\;\;\;\; w'(y)=(Ay+B) w(y)[/tex]
Altrimenti se [tex]c \ne 0\;\;\;\;\; w'(y)=B w(y)[/tex]
Ora per calcolare l'integrale che stiamo cercando di calcolare bisogna calcolarsi le derivate di [tex]s^n(y)[/tex] e di [tex]w(y)[/tex]
[tex]\frac{d^k}{dy^k}(s^n(y))=\frac{d^{k-1}}{dy^{k-1}} \big( n s^{n-1}(y) c \big)=\frac{n!}{(n-k)!} c^k s^{n-k}(y)[/tex]
Se [tex]c\ne 0 \;\;\;\;\; \frac{d^h}{dy^h}w(y)=B \frac{d^{h-1}}{dy^{h-1}} w(y)= B^h w(y)[/tex]
se invece [tex]c = 0[/tex] con qualche passaggio si può mostrare che [tex]\frac{d^h}{dy^h}w(y)= Q_h(y) w(y)[/tex]
dove [tex]Q_h(y)[/tex] è un polinomio di grado [tex]h[/tex] rispetto a [tex]y[/tex], che dipende da [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]
Torniamo finalmente all'integrale di partenza
[tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy=\int_a^b \frac{d^n}{dy^n}\big( w(y) s^n(y) \big) P_n(y) dy=[/tex]
[tex]=\big[ \frac{d^{n-1}}{dy^{n-1}}\big( w(y) s^n(y) \big) P_n(y) \big]_a^b -\int_a^b \frac{d^{n-1}}{dy^{n-1}}\big( w(y) s^n(y) \big) P'_n(y) dy[/tex]
dove nell'ultimo passaggio si è usato l'integrazione per parti.
Adesso sfruttando le relazioni trovate in precedenza si può dire che il primo addendo è nullo grazie alla condizione 4) nella definizione dei Polinomi.
Per chi interessa:
Quindi infine direi [tex]\int_a^b w(y) P_n^2(y) dy=(-1)^n \int_a^b w(y) s^n(y)\; \frac{d^n}{dy^n} P_n(y) dy= (-1)^n k_n n! \int_a^b w(y) s^n(y) dy[/tex]
dato che [tex]P_n(y)[/tex] dovrebbe essere un polinomio di grado [tex]n[/tex], anche se non l'ho dimostrato formalmente
ed in realtà in questo momento non saprei come fare... Qualche idea?
La formula dovrebbe essere giusta che dite?
Grazie
Mi pare che funzioni (anche se non ho ricontrollato tutti i conti.)
Sinceramente, al momento non mi viene in mente una strada diversa da seguire per risolvere questa faccenda: azzardo l'ipotesi che, come per molti polinomi famosi, questa formula salti fuori da una qualche equazione differenziale ordinaria (praticamente tutti i polinomi famosi sono definiti a partire da equazioni del genere) e forse analizzando la forma e le proprietà di tale equazione si possa risolvere la questione in via più immediata.
In ogni caso permettimi di citarti:
Credo che questa frase raggiunga l'epicità dell'affermazione di Puffo Quattrocchi quando afferma: "Puffami la palla puffa per puffare un gioco puffoso!"
Sinceramente, al momento non mi viene in mente una strada diversa da seguire per risolvere questa faccenda: azzardo l'ipotesi che, come per molti polinomi famosi, questa formula salti fuori da una qualche equazione differenziale ordinaria (praticamente tutti i polinomi famosi sono definiti a partire da equazioni del genere) e forse analizzando la forma e le proprietà di tale equazione si possa risolvere la questione in via più immediata.
In ogni caso permettimi di citarti:
"Fox":
Ora per calcolare l'integrale che stiamo cercando di calcolare bisogna calcolarsi le derivate di [tex]s^n(y)[/tex] e di [tex]w(y)[/tex]
Credo che questa frase raggiunga l'epicità dell'affermazione di Puffo Quattrocchi quando afferma: "Puffami la palla puffa per puffare un gioco puffoso!"
"ciampax":
In ogni caso permettimi di citarti:
[quote="Fox"]
Ora per calcolare l'integrale che stiamo cercando di calcolare bisogna calcolarsi le derivate di [tex]s^n(y)[/tex] e di [tex]w(y)[/tex]
Credo che questa frase raggiunga l'epicità dell'affermazione di Puffo Quattrocchi quando afferma: "Puffami la palla puffa per puffare un gioco puffoso!"
[/quote]Aahahahaha
, mitico!E per quanto riguarda il fatto che ho "assunto" [tex]P_n(y)[/tex] di grado [tex]n[/tex]?
Ad un primo conto [tex]P_n(y)=\frac{1}{w(y)} \frac{d^n}{dy^n} \big( s^n(y) w(y) \big)=\frac{1}{w(y)} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} w^{(n-k)}(y) \frac{d^k}{dy^k}s^n(y)=\frac{1}{w(y)} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} Q_{n-k}(y) w(y) \frac{n!}{(n-k)!} c^k s^{n-k}(y)[/tex]
Ora, se [tex]c=0\;\;\;=>\;\;\;s^{n-k}(y)= d^{n-k}[/tex], mentre [tex]Q_{n-k}(y)[/tex] è un polinomio di grado [tex]n-k[/tex]
Se invece [tex]c\ne 0\;\;\;=>\;\;\;s^{n-k}(y)[/tex] è un polinomio di grado [tex]n-k[/tex], mentre [tex]Q_{n-k}(y)=B^{n-k}[/tex]
Quindi, dato che in entrambi i casi [tex]k[/tex] al minimo è 0, [tex]P_n(y)[/tex] è un polinomio di grado [tex]n[/tex]
Pare che torni... Bene!
Grazie a tutti!
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