Polinomi ortogonali definiti univocamente
Due domande:
_fissata la funzione peso $w$ e l'intervallo $(a,b)$ il sistema di polinomi ortogonali ${P_n(x)}_n$ è unico? E se si, perchè?
_perchè se $\int_a^bw(x)P_n(x)x^kdx=0$ per ogni $k=0,1,...,n-1$ resta definito, a meno di costate moltiplicativa, il polinomio ortogonale $P_n$?
_fissata la funzione peso $w$ e l'intervallo $(a,b)$ il sistema di polinomi ortogonali ${P_n(x)}_n$ è unico? E se si, perchè?
_perchè se $\int_a^bw(x)P_n(x)x^kdx=0$ per ogni $k=0,1,...,n-1$ resta definito, a meno di costate moltiplicativa, il polinomio ortogonale $P_n$?
Risposte
mh, ok per la prima.
Ma la seconda domanda?
Ma la seconda domanda?
no... ripensandoci non mi sento soddisfatto neanche della prima.
Nel post citato si dimostra che la rappresentazione di un polinomio, fissata una base, è unico.
Quello che chiedevo io è perchè, fissato un intervallo e una funzione peso (quindi un prodotto scalare), la base di polinomi ortogonali è unica (a meno di costanti moltiplicative).
Nel post citato si dimostra che la rappresentazione di un polinomio, fissata una base, è unico.
Quello che chiedevo io è perchè, fissato un intervallo e una funzione peso (quindi un prodotto scalare), la base di polinomi ortogonali è unica (a meno di costanti moltiplicative).
"nato_pigro":No.
no... ripensandoci non mi sento soddisfatto neanche della prima.
Nel post citato si dimostra che la rappresentazione di un polinomio, fissata una base, è unico.
Quello che chiedevo io è perchè, fissato un intervallo e una funzione peso (quindi un prodotto scalare), la base di polinomi ortogonali è unica (a meno di costanti moltiplicative).Nel post citato si risponde esattamente a questa domanda.
Hai ragione!
Però la seconda domanda è comunque irrisolta, giusto?
Però la seconda domanda è comunque irrisolta, giusto?
[Nel seguito, per ogni polinomio il pedice coincide con il grado: \(P_n\) è un polinomio di grado \(n\), \(Q_k\) un polinomio di grado \(k\).]
Per quella bisogna vedere un po' meglio la costruzione: si tratta essenzialmente del procedimento di Gram-Schmidt applicato alla successione \(1, x, x^2, x^3 \ldots\). Ad ogni passo l'algoritmo costruisce un polinomio \(Q_n\) di grado \(n\) scegliendolo in modo tale da essere ortogonale a tutti i polinomi di grado strettamente minore di \(n\). Questa successione è unica a meno di costanti moltiplicative. Ora la condizione che hai scritto equivale a richiedere che \(P_n\) sia ortogonale a tutti i polinomi di grado strettamente più basso di \(n\), perciò a meno di costante moltiplicativa esso deve coincidere con \(Q_n\).
Insomma, è tutta questione di procedimento di Gram-Schmidt.
"nato_pigro":
Hai ragione!
Però la seconda domanda è comunque irrisolta, giusto?
Per quella bisogna vedere un po' meglio la costruzione: si tratta essenzialmente del procedimento di Gram-Schmidt applicato alla successione \(1, x, x^2, x^3 \ldots\). Ad ogni passo l'algoritmo costruisce un polinomio \(Q_n\) di grado \(n\) scegliendolo in modo tale da essere ortogonale a tutti i polinomi di grado strettamente minore di \(n\). Questa successione è unica a meno di costanti moltiplicative. Ora la condizione che hai scritto equivale a richiedere che \(P_n\) sia ortogonale a tutti i polinomi di grado strettamente più basso di \(n\), perciò a meno di costante moltiplicativa esso deve coincidere con \(Q_n\).
Insomma, è tutta questione di procedimento di Gram-Schmidt.
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